Question

Докажите неравенства а^2+10b^2>или=6ab

Answer 1

А^2+10b^2>=6ab
а^2-6ab+10b^2>=0
a^2-6ab+9b^2+b^2>=0
По формуле: a^2-2ab+b^2=(a-b)^2:
(a-3b)^2+b^2>=0
Квадрат любого числа больше или равен 0. Значит сумма двух квадратов больше или равна 0. Неравенство доказано.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте рассмотрим выражение $a^2 + 10b^2 - 6ab$. Нам нужно показать, что это выражение всегда больше или равно нулю для всех значений $a$ и $b$.

Рассмотрим данное выражение как квадратное выражение относительно переменной $a$:

$f(a) = a^2 - 6ab + 10b^2$

Теперь мы видим, что коэффициент при $a^2$ положителен ($1$), а значит, у данного квадратного выражения всегда существует минимальное значение. Чтобы найти это минимальное значение, найдем значение $a$, при котором производная $f(a)$ равна нулю:

$f'(a) = 2a - 6b$

Уравнение $2a - 6b = 0$ имеет решение $a = 3b$. Теперь мы можем подставить это значение $a$ обратно в исходное квадратное выражение:

$f(a) = (3b)^2 - 6b(3b) + 10b^2$ $f(a) = 9b^2 - 18b^2 + 10b^2$ $f(a) = b^2 \geq 0$

Таким образом, выражение $a^2 + 10b^2 - 6ab$ всегда больше или равно нулю для всех значений $a$ и $b$, что и доказывает неравенство $a^2 + 10b^2 \geq 6ab$.