Question

четыре числа составляют геометрическую прогрессию. при увеличении на 10,11,9 и 1 соответсвенно,они получают арифметическую прогрессию. найдите эти числа

Answer 1

≡,≡≡≡≡≡≡≡в≡≡≡≡≡·к·к···

Answer 2

Пусть четыре числа образуют геометрическую прогрессию с общим множителем "q". Тогда эти числа могут быть выражены как:

a, aq, aq^2, aq^3

где "a" - первый член последовательности.

Теперь, когда к этим числам прибавляем 10, 11, 9 и 1 соответственно, получаем арифметическую прогрессию. Таким образом, мы можем записать:

a + 10, aq + 11, aq^2 + 9, aq^3 + 1

Теперь у нас есть арифметическая прогрессия. Разница между каждыми последовательными членами этой прогрессии будет одинаковой. Таким образом, мы можем записать:

(aq + 11) - (a + 10) = (aq^2 + 9) - (aq + 11)

Распишем это уравнение:

aq + 11 - a - 10 = aq^2 + 9 - aq - 11

aq - a + 1 = aq^2 - aq - 2

Теперь выразим "a" через "q" из первого уравнения:

a = aq / q = aq^2 / q^2

Теперь подставим это в уравнение:

aq^2 / q^2 - aq + 1 = aq^2 - aq - 2

Умножим обе стороны на q^2, чтобы избавиться от дробей:

aq^2 - aq + q^2 = aq^2 - aq - 2q^2

Теперь выразим "a" через "q":

aq^2 - aq + q^2 = aq^2 - aq - 2q^2

aq^2 - aq^2 - aq + aq + 2q^2 - q^2 = 0

aq^2 - aq^2 + q^2 - q^2 = 0

0 = 0

Это уравнение верно для любого значения "q". Таким образом, у нас есть бесконечное количество решений для этой задачи. Выберем, например, q = 2.

Теперь, используя это значение "q", мы можем найти числа:

a = aq / q = 2a / 2 = a

Таким образом, наши числа будут:

a, 2a, 4a, 8a

Теперь мы можем рассмотреть арифметическую прогрессию, добавляя 10, 11, 9 и 1:

a + 10, 2a + 11, 4a + 9, 8a + 1

Теперь у нас есть арифметическая прогрессия с разницей одинаковой между всеми членами. Мы можем записать:

(2a + 11) - (a + 10) = (4a + 9) - (2a + 11)

2a + 11 - a - 10 = 4a + 9 - 2a - 11

a + 1 = 2a - 2

Теперь решим это уравнение:

a - 2a = -2 - 1

-a = -3

Теперь найдем "a":

a = 3

Итак, наши четыре числа в геометрической прогрессии:

a = 3 aq = 6 aq^2 = 12 aq^3 = 24

А в арифметической прогрессии:

a + 10 = 13 2a + 11 = 17 4a + 9 = 21 8a + 1 = 25

Итак, числа 3, 6, 12 и 24 образуют геометрическую прогрессию, и при добавлении 10, 11, 9 и 1 соответственно, они образуют арифметическую прогрессию.