Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f на данном промежутке: 1. f(x)=2x^3-3x^2-12x+24, {-2;1} 2. f(x)=cos2x-2cosx, {-pi/3;pi}

Answer 1

1) f'(x)=6x^2-6x-12;

f'(x)=0 <=> 6x^2-6x-12=0 |:6

x^2-x-2=0

x1=2 - не входит в промежуток в условии

x2=-1

f(-2)=-16-12+24+24=20

f(1)=2-3+12+24=35

f(-1)=-2-3+12+24=31;

Ответ: minf(x)=f(-2)=20; maxf(x)=f(1)=35;

2) f'(x) = -sin2x*2+sinx*2

f'(x)=0 <=> 2sinx-2sin2x=0 |:2

sinx-sin2x=0; sinx-2sinxcosx=0; sinx(1-2cosx)=0; sinx=0 или cosx=-1/2;

x=pi * n, n принадлежит Z или x=+-2pi/3+2pi*k, k принадлежит Z;

f(-pi/3)=cos(-2pi/3) - 2cos(pi/3)=-1/2-2*1/2=-1/2-1=-3/2

f(pi)=cosx(2pi) - 2cos(pi)=1+2=3;

f(2pi/3)=cos(4pi/3)-2(2pi/3)=-1/2+2*1/2=-1/2+1=1/2;

Ответ: minf(x)=f(-pi/3)=-3/2; maxf(x)=f(pi)=3;

Answer 2

Давайте начнем с первой функции:

1. f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 24, {-2; 1}

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на данном интервале, сначала найдем критические точки, где производная функции равна нулю:

f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)

Критические точки находятся при x = 2 и x = -1. Теперь нам нужно проверить значения функции в этих точках, а также на границах интервала.

1. Подставим x = -2: f(-2) = 2*(-2)^3 - 3*(-2)^2 - 12*(-2) + 24 = -16 + 12 + 24 - 24 = -4

2. Подставим x = -1: f(-1) = 2*(-1)^3 - 3*(-1)^2 - 12*(-1) + 24 = 2 - 3 + 12 + 24 = 35

3. Подставим x = 1: f(1) = 21^3 - 31^2 - 12*1 + 24 = 2 - 3 - 12 + 24 = 11

Теперь у нас есть значения функции в критических точках и на границах интервала:

f(-2) = -4 f(-1) = 35 f(1) = 11

Наименьшее значение функции на интервале [-2, 1] равно -4 (достигается в точке x = -2), а наибольшее значение равно 35 (достигается в точке x = -1).

Теперь перейдем ко второй функции:

2. f(x) = cos(2x) - 2cos(x), {-pi/3; pi}

Здесь нам нужно найти критические точки, где производная функции равна нулю:

f'(x) = -2sin(2x) + 2sin(x)

Поставим f'(x) равным нулю и решим уравнение:

-2sin(2x) + 2sin(x) = 0

Вынесем 2sin(x) как общий множитель:

2sin(x)(-sin(2x) + 1) = 0

Теперь рассмотрим два случая:

1. 2sin(x) = 0, что означает sin(x) = 0. Это происходит при x = 0, pi, -pi, 2pi, и так далее.

2. -sin(2x) + 1 = 0. Решим это уравнение:

-sin(2x) + 1 = 0 sin(2x) = 1

Для этого уравнения есть два решения:

a) 2x = pi/2 => x = pi/4 b) 2x = 5pi/2 => x = 5pi/4

Теперь нам нужно проверить значения функции в этих точках, а также на границах интервала:

1. Подставим x = -pi/3: f(-pi/3) = cos(2*(-pi/3)) - 2cos(-pi/3) = cos(-2pi/3) - 2cos(-pi/3)

2. Подставим x = pi/4: f(pi/4) = cos(2*(pi/4)) - 2cos(pi/4) = cos(pi/2) - 2cos(pi/4)

3. Подставим x = 5pi/4: f(5pi/4) = cos(2*(5pi/4)) - 2cos(5pi/4) = cos(5pi/2) - 2cos(5pi/4)

4. Подставим x = pi: f(pi) = cos(2*pi) - 2cos(pi)

Теперь оценим значения функции в этих точках и на границах интервала, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение. После подсчетов можно выбрать наибольшее и наименьшее значение из всех полученных значений.