Question

найдите координаты точки параболы y=(x^2)+4 в которой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 135°

Answer 1

Под углом 135 градусов тенгенс равен -1. значит производная должна быть равна  -1        у'=2х=-1  значит х=-0,5, у=0,25+4 =4,25 
 искомая точка равна (-0,5 , 4,25)

Answer 2

Для найти точку на параболе, в которой касательная наклонена под углом 135° к оси абсцисс, мы должны использовать производную функции y = x^2 + 4 и найти угол между этой производной и осью абсцисс.

Сначала найдем производную функции y = x^2 + 4:

y' = 2x

Теперь мы должны найти угол между этой производной и осью абсцисс. Угол между двумя векторами можно найти, используя следующую формулу:

cos(θ) = (u * v) / (||u|| * ||v||)

где u и v - это векторы, а ||u|| и ||v|| - их длины. В данном случае, u - это вектор, представляющий направление оси абсцисс, что равно (1, 0), и v - это вектор, представляющий направление производной функции (2x, 1).

||u|| = sqrt(1^2 + 0^2) = 1 ||v|| = sqrt((2x)^2 + 1^2) = sqrt(4x^2 + 1)

Теперь мы можем найти cos(θ):

cos(θ) = ((2x * 1) + (1 * 0)) / (1 * sqrt(4x^2 + 1)) = 2x / sqrt(4x^2 + 1)

Теперь нам нужно найти угол θ, для которого cos(θ) = cos(135°). Так как cos(135°) равен -√2/2, то:

2x / sqrt(4x^2 + 1) = -√2/2

Далее, возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(2x)^2 / (4x^2 + 1) = (√2/2)^2

Упростим:

4x^2 / (4x^2 + 1) = 1/2

Теперь умножим обе стороны на (4x^2 + 1), чтобы избавиться от дроби:

4x^2 = (4x^2 + 1) / 2

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

8x^2 = 4x^2 + 1

Выразим x^2:

4x^2 = 1

x^2 = 1/4

x = ±1/2

Таким образом, у нас есть две точки на параболе, в которых касательная наклонена под углом 135° к оси абсцисс:

1. Точка с координатами (1/2, 5/4)
2. Точка с координатами (-1/2, 5/4)