Question

Знайдіть похідну функціїу=ctg(x)*9x^2

Answer 1

$y= ctg\ x * 9x^2\\ y' = - \frac{9x^2}{\sin^2 x} +18x*ctg\ x$

Answer 2

Щоб знайти похідну виразу $y = \cot(x) \cdot 9x^2$, потрібно скористатися правилом добутку та ланцюжка. Правило добутку виглядає так:

$(uv)' = u'v + uv'$

Де $u$ та $v$ - це функції, а $u'$ та $v'$ - їх похідні відповідно.

Знайдемо похідні компонентів:

1. Для $u = \cot(x)$: Використаємо тотожність $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.

   $u' = \frac{d}{dx}\left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)$ Використовуючи правило частинного диференціювання, отримаємо: $u' = \frac{\sin(x)(-\sin(x)) - \cos(x)\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{\sin(x)}{\sin^2(x)} = -\csc(x)$

2. Для $v = 9x^2$: $v' = \frac{d}{dx}(9x^2) = 18x$

Тепер використаємо правило добутку:

$(uv)' = u'v + uv'$ $(\cot(x) \cdot 9x^2)' = (-\csc(x)) \cdot (9x^2) + (\cot(x)) \cdot (18x)$

Тепер ми можемо спростити вираз, якщо потрібно:

$(-\csc(x)) \cdot (9x^2) + (\cot(x)) \cdot (18x)$