Question

Известно, что a^2+b^2=31,ab=9. Найдите значение выражения a+b.

Answer 1

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=(a^2+b^2)+2ab=31+2\cdot9=31+18=49\\ \\ a+b=\pm\sqrt{49}=\pm 7$

Ответ: -7 или 7

Answer 2

Для нахождения значения выражения a+b, можно воспользоваться системой уравнений, которая связывает a и b на основе данных условий:

a^2 + b^2 = 31 ab = 9

Мы можем использовать второе уравнение, чтобы выразить одну из переменных через другую. Давайте выразим a:

ab = 9

a = 9/b

Теперь мы можем подставить это значение в первое уравнение:

(9/b)^2 + b^2 = 31

81/b^2 + b^2 = 31

Теперь давайте умножим обе стороны уравнения на b^2, чтобы избавиться от дроби:

81 + b^4 = 31b^2

Теперь переносим все члены на одну сторону:

b^4 - 31b^2 + 81 = 0

Это квадратное уравнение относительно b^2. Давайте проведем замену переменной, чтобы упростить его:

Пусть x = b^2

Тогда уравнение становится:

x^2 - 31x + 81 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с использованием дискриминанта:

D = (-31)^2 - 4 * 1 * 81 = 961 - 324 = 637

Теперь найдем два значения x (b^2) с использованием квадратного корня:

x1 = (31 + √637) / 2 ≈ 29.556 x2 = (31 - √637) / 2 ≈ 1.444

Теперь, когда у нас есть два значения для x (b^2), мы можем найти соответствующие значения для b:

b1 ≈ √29.556 ≈ 5.437 b2 ≈ √1.444 ≈ 1.202

Теперь, найдем соответствующие значения для a, используя уравнение a = 9/b:

a1 ≈ 9/5.437 ≈ 1.657 a2 ≈ 9/1.202 ≈ 7.483

Таким образом, у нас есть два набора значений a и b:

1. a1 ≈ 1.657, b1 ≈ 5.437
2. a2 ≈ 7.483, b2 ≈ 1.202

Теперь найдем значения a+b для каждого набора:

1. a1 + b1 ≈ 1.657 + 5.437 ≈ 7.094
2. a2 + b2 ≈ 7.483 + 1.202 ≈ 8.685

Итак, у нас есть два возможных значения выражения a+b: примерно 7.094 и примерно 8.685.