Question

Решите пожалуйста а)(x-2)(x+2)/x-3<0 б)x^2-10x+25/x^2-4x-12>=0 СПАСИБО ЗАРАНЕЕ!

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для решения неравенств вида $\frac{{f(x)}}{{g(x)}} < 0$ и $f(x)/g(x) \geq 0$, где $f(x)$ и $g(x)$ - это две функции, вы можете использовать метод интервалов. Сначала найдем точки, в которых либо $f(x)$ равно 0, либо $g(x)$ равно 0, так как в этих точках неравенство может измениться. Затем мы будем анализировать знаки $f(x)$ и $g(x)$ на интервалах между найденными точками.

а) Давайте рассмотрим $\frac{{(x-2)(x+2)}}{{x-3}} < 0$.

1. Найдем точки, где числитель и/или знаменатель равны нулю:

   • $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
   • $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
   • $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

2. Теперь разобьем весь диапазон значений $x$ на интервалы, используя найденные точки (интервалы - это области между точками, где знаки меняются):

   • $-\infty < x < -2$
   • $-2 < x < 2$
   • $2 < x < 3$
   • $3 < x < \infty$

3. Теперь определим знаки числителя и знаменателя на каждом интервале:

   • Для интервала $-\infty < x < -2$:
     • Числитель $(x-2)(x+2)$ отрицателен (два множителя с разными знаками).
     • Знаменатель $(x-3)$ отрицателен (в данном интервале).
     • $\frac{{(x-2)(x+2)}}{{x-3}}$ - положительное число (отрицательное/отрицательное).
   • Для интервала $-2 < x < 2$:
     • Числитель $(x-2)(x+2)$ положителен (два множителя с разными знаками).
     • Знаменатель $(x-3)$ отрицателен.
     • $\frac{{(x-2)(x+2)}}{{x-3}}$ - отрицательное число (положительное/отрицательное).
   • Для интервала $2 < x < 3$:
     • Числитель $(x-2)(x+2)$ положителен.
     • Знаменатель $(x-3)$ положителен.
     • $\frac{{(x-2)(x+2)}}{{x-3}}$ - положительное число (положительное/положительное).
   • Для интервала $3 < x < \infty$:
     • Числитель $(x-2)(x+2)$ положителен.
     • Знаменатель $(x-3)$ положителен.
     • $\frac{{(x-2)(x+2)}}{{x-3}}$ - положительное число (положительное/положительное).

4. Теперь рассмотрим знаки неравенства $\frac{{(x-2)(x+2)}}{{x-3}} < 0$ на каждом интервале:

   • Для интервала $-\infty < x < -2$: Неравенство выполняется ($< 0$).
   • Для интервала $-2 < x < 2$: Неравенство не выполняется ($> 0$).
   • Для интервала $2 < x < 3$: Неравенство выполняется ($< 0$).
   • Для интервала $3 < x < \infty$: Неравенство не выполняется ($> 0$).

Итак, решение неравенства $\frac{{(x-2)(x+2)}}{{x-3}} < 0$ состоит в интервалах $-\infty < x < -2$ и $2 < x < 3$.

б) Теперь рассмотрим $\frac{{x^2 - 10x + 25}}{{x^2 - 4x - 12}} \geq 0$.

1. Найдем точки, где числитель и/или знаменатель равны нулю:

   • $x^2 - 10x + 25 = 0 \Rightarrow (x-5)^2 = 0 \Rightarrow x = 5$ (это двойной корень)
   • $x^2 - 4x - 12 = 0 \Rightarrow (x-6)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 6$