Question

Помогите пожалуйста Розв'язати нерівность (4-x) (3x+1) (x²+1)<0

Answer 1

Х²+1 завжди буде більше ніж нуль, адже х² >0
Отже розглядати будемо лише (4-х)(3х+1)
Знайдемо нулі в кожній із цих думок
х0=4
х0=-1/3
Розв'яжемо за допомогою інтервалу
Беремо значення на кожному з інтервалів, і підставляемо в (4-х)(3х+1) якщо в обох дужках буде від'ємне значення, то мінус на мінус дають плюс))
Відповідь : Хє(-∞;-1/3)(4;+∞)

Answer 2

Для розв'язання нерівності (4-x)(3x+1)(x²+1) < 0, спробуємо використати метод інтервалів. Цей метод включає в себе аналіз зміни знаку виразу на різних інтервалах значень x.

1. Знайдемо значення x, для яких вираз рівний нулю:

(4-x)(3x+1)(x²+1) = 0

З цього рівняння отримуємо три корені: x₁ = 4 x₂ = -1/3 x₃ = i (де i - уявна одиниця)

2. Тепер розділимо весь діапазон значень x на чотири інтервали, враховуючи отримані корені:

I. x < -1/3 II. -1/3 < x < 4 III. x > 4 IV. x - комплексні числа (не має значення для даної нерівності, оскільки ми розглядаємо реальні значення)

3. Перевіримо зміну знаку на кожному інтервалі, використовуючи тестову точку:

I. x = -2 (візьмемо точку з інтервалу) (4-(-2))(3(-2)+1)((-2)²+1) = (6)(-5)(5) = -150 Отже, на цьому інтервалі знак виразу від'ємний.

II. x = 0 (візьмемо точку з інтервалу) (4-0)(3(0)+1)(0²+1) = (4)(1)(1) = 4 На цьому інтервалі знак виразу позитивний.

III. x = 5 (візьмемо точку з інтервалу) (4-5)(3(5)+1)(5²+1) = (-1)(16)(26) = -416 На цьому інтервалі знак виразу від'ємний.

4. Тепер ми знаємо, що на інтервалах I і III знак виразу від'ємний, а на інтервалі II - позитивний.

5. Оскільки ми шукаємо місця, де вираз менше нуля, ми можемо вказати відповідь в такому вигляді:

Розв'язок нерівності (4-x)(3x+1)(x²+1) < 0: x ∈ (-1/3, 4)

Це означає, що розв'язок включає всі значення x, що належать інтервалу від -1/3 до 4 (не включаючи самі корені x₁ і x₂).