Question

Помогите пожалуйста sinx sin6x =sin8x sin3x

Answer 1

Воспользуемся преобразованием произведения синусов в сумму:

sinα · sinβ = ¹/₂ · (cos(α - β) - cos(α + β))

¹/₂ · (cos(-5x) - cos(7x)) = ¹/₂ · (cos(5x) - cos(11x))

cos5x - cos7x = cos5x - cos11x

Сократим обе части на cos5x:

- cos7x = -cos11x

cos7x - cos11x = 0

Воспользуемся преобразованием разности косинусов в произведение:

$\tt\displaystyle cos(\alpha) - cos(\beta) = 2\cdot sin\bigg(\frac{\alpha + \beta}{2}\bigg)\cdot sin\bigg(\frac{\beta - \alpha}{2}\bigg)$

2cosx9x · cos2x = 0

cos9x · cos2x = 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

cos9x = 0

9x = π/2 + πn, n ∈ Z

x = π/18 + πn/9, n ∈ Z

cos2x = 0

2x = π/2 + πn, n ∈ Z

x = π/4 + πn/2, n ∈ Z

Answer 2

Для решения уравнения sin(x) * sin(6x) = sin(8x) * sin(3x), можно воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Используя тождество произведения синусов (sin(A) * sin(B) = 1/2 * [cos(A - B) - cos(A + B)]), мы можем переписать данное уравнение следующим образом:

1/2 * [cos(x - 6x) - cos(x + 6x)] = 1/2 * [cos(8x - 3x) - cos(8x + 3x)]

Упростим обе стороны уравнения:

1/2 * [cos(-5x) - cos(7x)] = 1/2 * [cos(5x) - cos(11x)]

Теперь можем умножить обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

cos(-5x) - cos(7x) = cos(5x) - cos(11x)

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

cos(-5x) - cos(7x) - cos(5x) + cos(11x) = 0

Теперь используем формулу разности косинусов (cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A + B)/2) * sin((A - B)/2)):

-2 * sin((-5x + 7x)/2) * sin((-5x - 7x)/2) - 2 * sin((5x + 11x)/2) * sin((5x - 11x)/2) = 0

-2 * sin(x/2) * sin(-6x/2) - 2 * sin(8x/2) * sin(-6x/2) = 0

-2 * sin(x/2) * sin(-3x) - 2 * sin(4x) * sin(-3x) = 0

Теперь используем тождество о произведении синусов (sin(A) * sin(B) = 1/2 * [cos(A - B) - cos(A + B)]):

-1/2 * [cos(x/2 - 3x) - cos(x/2 + 3x)] - 1/2 * [cos(4x - 3x) - cos(4x + 3x)] = 0

-1/2 * [cos(-5x/2) - cos(7x/2)] - 1/2 * [cos(x) - cos(7x)] = 0

Теперь можно упростить:

1/2 * [cos(7x/2) - cos(5x/2) - cos(x) + cos(7x)] = 0

Теперь у нас есть уравнение, в котором все косинусы имеют известные значения. Мы можем решить его численно, используя методы вычислений, такие как метод Ньютона или метод деления пополам. Решение этого уравнения может быть довольно сложным, и оно зависит от конкретных значений x.