Question

При каких значениях переменной имеет смысл выражения: А) 13х-6х²-5 (всё выражение в корне) Б) 18-2х²-5х (всё выражение в корне) ?

Answer 1

А)

При 13x-6x²-5≥0

6x²-13x+5 ≤0

D=169-4·6·5=49

x₁=(13-7)/12=1/2;  x₂=(13+7)/12=5/3;

1/2 ≤ x ≤ 5/3

Б)

При 18-2x²-5х≥0

2x²+5х-18 ≤0

D=25-4·2·(-18)=169

x₁=(-5-13)/4=-9/2;  x₂=(-5+13)/4=2;

-9/2 ≤ x ≤ 2

Answer 2

Для того чтобы определить, при каких значениях переменной имеет смысл выражение в корне (квадратном корне), необходимо, чтобы выражение под корнем (внутри корня) было неотрицательным, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в действительных числах.

А) Для выражения 13x - 6x² - 5 под корнем имеем следующее:

13x - 6x² - 5 ≥ 0

Теперь решим неравенство:

13x - 6x² - 5 ≥ 0

Для этого можно воспользоваться графическим методом или методом дискриминанта. Последний метод позволяет найти значения x, при которых выражение будет неотрицательным.

Дискриминант квадратного уравнения вида ax² + bx + c ≥ 0 равен D = b² - 4ac. В данном случае a = -6, b = 13 и c = -5.

D = 13² - 4(-6)(-5) = 169 - 120 = 49

D положителен, что означает, что квадратное уравнение имеет два действительных корня. Так как a = -6, то у нас есть два случая:

1. x1 = (-b + √D) / (2a) = ( -13 + √49 ) / (2 * (-6)) = ( -13 + 7 ) / (-12) = 6 / (-12) = -1/2
2. x2 = (-b - √D) / (2a) = ( -13 - √49 ) / (2 * (-6)) = ( -13 - 7 ) / (-12) = -20 / (-12) = 5/3

Таким образом, выражение 13x - 6x² - 5 имеет смысл при значениях x из интервала (-1/2, 5/3), именно в этом интервале оно неотрицательно.

Б) Для выражения 18 - 2x² - 5x под корнем имеем следующее:

18 - 2x² - 5x ≥ 0

Теперь решим неравенство:

18 - 2x² - 5x ≥ 0

Для этого можно воспользоваться методом дискриминанта:

a = -2, b = -5, c = 18

D = (-5)² - 4(-2)(18) = 25 + 144 = 169

D положителен, что означает, что квадратное уравнение имеет два действительных корня:

1. x1 = (-b + √D) / (2a) = ( 5 + √169 ) / (2 * (-2)) = ( 5 + 13 ) / (-4) = 18 / (-4) = -9/2
2. x2 = (-b - √D) / (2a) = ( 5 - √169 ) / (2 * (-2)) = ( 5 - 13 ) / (-4) = -8 / (-4) = 2

Таким образом, выражение 18 - 2x² - 5x имеет смысл при значениях x из интервала (-9/2, 2), именно в этом интервале оно неотрицательно.