Question

Решите уравнение: а) 3x^2 - |x-3| - 1 = 0 б) 2x^-2 - 3x^-1 -2 = 0 в) (x^2 - 1)^2 - 18 (x^2 -1) +45 = 0 г) (x^3 + 1)^2 - 10 (x^3 + 1) + 9 = 0

Answer 1

.................................

Answer 2

а) 3x^2 - |x-3| - 1 = 0

Давайте рассмотрим два случая:

1. Если x-3 ≥ 0, то |x-3| = x-3, и уравнение становится:

3x^2 - (x-3) - 1 = 0

Раскроем скобки:

3x^2 - x + 3 - 1 = 0

3x^2 - x + 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 3, b = -1, и c = 2. Подставим значения:

x = (-(-1) ± √((-1)² - 4 * 3 * 2)) / (2 * 3)

x = (1 ± √(1 - 24)) / 6

Поскольку подкоренное выражение отрицательное, у нас нет действительных корней в этом случае.

2. Если x-3 < 0, то |x-3| = -(x-3) = 3-x, и уравнение становится:

3x^2 - (3-x) - 1 = 0

Раскроем скобки:

3x^2 - 3 + x - 1 = 0

3x^2 + x - 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 3, b = 1, и c = -4. Подставим значения:

x = (-1 ± √(1 - 4 * 3 * (-4))) / (2 * 3)

x = (-1 ± √(1 + 48)) / 6

x = (-1 ± √49) / 6

x = (-1 ± 7) / 6

Теперь выразим два корня:

1. x = (7 - 1) / 6 = 1

2. x = (-7 - 1) / 6 = -2

Итак, уравнение имеет два корня: x = 1 и x = -2.

б) 2x^-2 - 3x^-1 - 2 = 0

Перепишем уравнение в более привычной форме, используя положительные степени:

2/x^2 - 3/x - 2 = 0

Умножим обе стороны на x^2, чтобы избавиться от знаменателя:

2 - 3x - 2x^2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Переносим все члены на одну сторону:

-2x^2 - 3x + 2 = 0

Решим это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = -2, b = -3, и c = 2. Подставим значения:

x = (3 ± √((-3)² - 4 * (-2) * 2)) / (2 * (-2))

x = (3 ± √(9 + 16)) / (-4)

x = (3 ± √25) / (-4)

Теперь выразим два корня:

1. x = (3 + 5) / (-4) = 8 / (-4) = -2

2. x = (3 - 5) / (-4) = -2 / (-4) = 1/2

Итак, уравнение имеет два корня: x = -2 и x = 1/2.

в) (x^2 - 1)^2 - 18 (x^2 - 1) + 45 = 0

Давайте представим z = x^2 - 1, тогда уравнение станет:

z^2 - 18z + 45 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение:

z = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = -18, и c = 45. Подставим значения:

z = (18 ± √((-18)² - 4 * 1 * 45)) / (2 * 1)

z = (18 ± √(324 - 180)) / 2

z = (18 ± √144) / 2

Теперь выразим два корня:

1. z = (18 + 12) / 2 = 30 / 2 = 15

2. z = (18 - 12) / 2 = 6 / 2 = 3

Теперь вернемся к исходной переменной x:

1. x^2 - 1 = 15

x^2 = 16

x = ±4

2. x^2 - 1 = 3

x^2 = 4

x = ±2

Итак, уравнение имеет четыре корня: x = 4, x = -4, x = 2 и x = -2.

г) (x^3 + 1)^2 - 10 (x^3 + 1) + 9 = 0

Давайте представим y = x^3 + 1, тогда уравнение станет:

y^2 - 10y + 9 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

где a = 1, b = -10, и c = 9. Подставим значения:

y = (10 ± √((-10)² - 4 * 1 * 9)) / (2 * 1)

y = (10 ± √(100 - 36)) / 2

y = (10 ± √64) / 2

Теперь выразим два корня:

1. y = (10 + 8) / 2 = 18 / 2 = 9

2. y = (10 - 8) / 2 = 2 / 2 = 1

Теперь вернемся к исходной переменной x:

1. x^3 + 1 = 9

x^3 = 8

x = 2

2. x^3 + 1 = 1

x^3 = 0

x = 0

Итак, уравнение имеет два корня: x = 2 и x = 0.