Question

найти первообразную e^x-2x^5-3x^2+2

Answer 1

e^x+2(x^6)/6-3(x^3)/3+2x+c=e^x+(x^6)/3-x^3+2x+c

Answer 2

$F(x)=e^x-\frac{2x^{5+1}}{5+1}-\frac{3x^{2+1}}{2+1}+2x+C=e^x-\frac{2x^6}{6}-\frac{3x^3}{3}+2x+C=\\=e^x-\frac{x^6}{3}-x^3+2x+C$

Answer 3

Для нахождения первообразной функции f(x) = e^x - 2x^5 - 3x^2 + 2, мы можем использовать метод интегрирования по частям и метод интегрирования многочленов.

Интегрирование по частям

Для интегрирования по частям, мы используем формулу:

∫(u * v) dx = u * ∫v dx - ∫(u' * ∫v dx) dx,

где u и v - функции, а u' и v' - их производные.

В данном случае, давайте выберем u = x^2 и dv = e^x dx.

Тогда du = 2x dx и v = ∫e^x dx = e^x.

Подставляя значения в формулу интегрирования по частям, получаем:

∫(x^2 * e^x) dx = x^2 * e^x - ∫(2x * e^x) dx.

Интегрирование многочленов

Для интегрирования многочленов, мы используем следующие правила:

∫(a * x^n) dx = (a / (n + 1)) * x^(n + 1),

где a - константа, x - переменная, и n - степень x.

Применяем это правило к оставшемуся интегралу:

∫(2x * e^x) dx = 2 * ∫(x * e^x) dx.

Теперь у нас остался интеграл от произведения x и e^x, который мы можем решить снова, используя интегрирование по частям.

Продолжение интегрирования по частям

Выбираем u = x и dv = e^x dx.

Тогда du = dx и v = ∫e^x dx = e^x.

Подставляем значения в формулу интегрирования по частям:

∫(x * e^x) dx = x * e^x - ∫(1 * e^x) dx.

Завершение интегрирования

Теперь мы можем собрать все результаты и получить первообразную исходной функции f(x) = e^x - 2x^5 - 3x^2 + 2:

∫(f(x) dx) = x^2 * e^x - x * e^x - ∫(e^x dx) - 2 * ∫(x^5 dx) - 3 * ∫(x^2 dx) + 2 * ∫(dx).

Интегрируя каждое слагаемое, получаем:

∫(f(x) dx) = x^2 * e^x - x * e^x - e^x - (2/6) * x^6 - (3/3) * x^3 + 2x + C,

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции f(x) = e^x - 2x^5 - 3x^2 + 2 равна:

F(x) = x^2 * e^x - x * e^x - e^x - (1/3) * x^6 - x^3 + 2x + C,

где C - произвольная постоянная.