Question

Формулы сумы и разницы 4) ctg (45° -a) - ctg (45° +a) 5) cos 16° - cos 36° 6) sin 28° + sin 12° 7) cos 3a + cos 5a 8) ctg 55° - ctg 15°

Answer 1

$4)~\rm{ctg}\,(45^\circ-\alpha)-\rm{ctg}\,(45^\circ+\alpha)=\dfrac{\sin(45^\circ+\alpha-45^\circ+\alpha)}{\sin(45^\circ-\alpha)\sin(45^\circ+\alpha)}=\\ \\ =\dfrac{\sin2\alpha}{\sin(45^\circ-\alpha)\sin(45^\circ+\alpha)}$

$5)~ \cos16^\circ-\cos36^\circ=2\sin\dfrac{16^\circ+36^\circ}{2}\sin\dfrac{36^\circ-16^\circ}{2}=2\sin26^\circ\sin10^\circ$

$6)~ \sin28^\circ+\sin12^\circ=2\sin\dfrac{28^\circ+12^\circ}{2}\cos\dfrac{28^\circ-12^\circ}{2}=2\sin20^\circ\cos8^\circ$

$7)~ \cos3\alpha+\cos5\alpha=2\cos\dfrac{3\alpha+5\alpha}{2}\cos\dfrac{3\alpha-5\alpha}{2}=2\cos4\alpha\cos\alpha$

$8)~ \rm{ctg}\,55^\circ-\rm{ctg}\,15^\circ=\dfrac{\sin(15^\circ-55^\circ)}{\sin55^\circ\sin15^\circ}=-\dfrac{\sin40^\circ}{\sin55^\circ\sin15^\circ}$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из этих выражений по очереди и упростим их, используя известные тригонометрические формулы.

4. ctg(45° - a) - ctg(45° + a):

Используем формулу для котангенса разности:

ctg(45° - a) - ctg(45° + a) = [1/tan(45° - a)] - [1/tan(45° + a)]

Теперь используем формулу для тангенса разности:

tan(45° - a) = (tan(45°) * tan(a)) / (1 - tan(45°) * tan(a)) tan(45° + a) = (tan(45°) * tan(a)) / (1 + tan(45°) * tan(a))

Подставляем эти значения в выражение:

[1/((tan(45°) * tan(a)) / (1 - tan(45°) * tan(a)))] - [1/((tan(45°) * tan(a)) / (1 + tan(45°) * tan(a)))]

Сокращаем дроби:

[(1 - tan(45°) * tan(a)) / (tan(45°) * tan(a))] - [(1 + tan(45°) * tan(a)) / (tan(45°) * tan(a))]

Теперь выразим общий знаменатель и объединим дроби:

[(1 - tan(45°) * tan(a)) - (1 + tan(45°) * tan(a))] / (tan(45°) * tan(a))

Упростим числитель:

1 - tan(45°) * tan(a) - 1 - tan(45°) * tan(a) = -2 * tan(45°) * tan(a)

Подставляем значение tan(45°):

-2 * (1 * 1) * tan(a) = -2 * tan(a)

Итак, ответ на выражение ctg(45° - a) - ctg(45° + a) равен -2 * tan(a).

5. cos(16°) - cos(36°):

Используем формулу для разности косинусов:

cos(16°) - cos(36°) = 2 * sin((16° + 36°) / 2) * sin((36° - 16°) / 2)

Упростим углы внутри синусов:

2 * sin(26°) * sin(10°)

Теперь можем вычислить синусы этих углов:

sin(26°) ≈ 0.4384 sin(10°) ≈ 0.1736

Теперь умножим эти значения:

2 * 0.4384 * 0.1736 ≈ 0.1522

Итак, ответ на выражение cos(16°) - cos(36°) равен приближенно 0.1522.

6. sin(28°) + sin(12°):

Используем формулу для суммы синусов:

sin(28°) + sin(12°) = 2 * sin((28° + 12°) / 2) * cos((28° - 12°) / 2)

Упростим углы внутри синусов и косинусов:

2 * sin(20°) * cos(8°)

Теперь можем вычислить синусы и косинусы этих углов:

sin(20°) ≈ 0.3420 cos(8°) ≈ 0.9903

Теперь умножим эти значения:

2 * 0.3420 * 0.9903 ≈ 0.6780

Итак, ответ на выражение sin(28°) + sin(12°) равен приближенно 0.6780.

7. cos(3a) + cos(5a):

Используем формулу для суммы косинусов:

cos(3a) + cos(5a) = 2 * cos((3a + 5a) / 2) * cos((5a - 3a) / 2)

Упростим углы внутри косинусов:

2 * cos(4a) * cos(a)

Теперь умножим эти значения:

2 * cos(4a) * cos(a)

Итак, ответ на выражение cos(3a) + cos(5a) равен 2 * cos(4a) * cos(a).

8. ctg(55°) - ctg(15°):

Используем формулу для котангенса разности:

ctg(55°) - ctg(15°) = [1/tan(55°)] - [1/tan(15°)]

Теперь используем формулу для тангенса разности:

tan(55°) = (tan(60°) * tan(5°)) / (1 - tan(60°) * tan(5°)) tan(15°) = (tan(60°) * tan(45°)) / (1 - tan(60°) * tan(45°))

Подставляем эти значения в выражение:

[1/((tan(60°) * tan(5°)) / (1 - tan(60°) * tan(5°)))] - [1/((tan(60°) * tan(45°)) / (1 - tan(60°) * tan(45°)))]

Сокращаем дроби:

[(1 - tan(60°) * tan(5°)) / (tan(60°) * tan(5°))] - [(1 - tan(60°) * tan(45°)) / (tan(60°) * tan(45°))]

Упростим числитель:

(1 - tan(60°) * tan(5°)) - (1 - tan(60°) * tan(45°))

Теперь выразим tan(60°) и tan(45°):

tan(60°) = √3 tan(45°) = 1

Подставляем эти значения:

(1 - √3 * tan(5°)) - (1 - √3 * 1)

Теперь вычислим tan(5°):

tan(5°) ≈ 0.0875

Итак, ответ на выражение ctg(55°) - ctg(15°) равен:

(1 - √3 * 0.0875) - (1 - √3) ≈ (1 - 0.1515) - (1 - √3) ≈ 0.8485 - (1 - √3)

Вы можете приблизительно вычислить это значение.