Question

Корни квадратного уравнения ax^2+bx+c в 2007 раз больше корней квадратного уравнения cx^2+dx+a .Доказать, что b^2 = d^2

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Давайте начнем с предположения о том, что квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два корня, а квадратное уравнение $cx^2 + dx + a = 0$ также имеет два корня. Мы знаем, что для квадратного уравнения общая формула для вычисления корней выглядит следующим образом:

Для $ax^2 + bx + c = 0$, корни $x_1$ и $x_2$ вычисляются следующим образом: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

А для $cx^2 + dx + a = 0$, корни $y_1$ и $y_2$ вычисляются следующим образом: $y_1 = \frac{-d + \sqrt{d^2 - 4ac}}{2c}$ $y_2 = \frac{-d - \sqrt{d^2 - 4ac}}{2c}$

Теперь у нас есть условие, что корни первого уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ в 2007 раз больше корней второго уравнения $cx^2 + dx + a = 0$, что можно записать как:

$x_1x_2 = 2007 \cdot y_1y_2$

Теперь давайте подставим значения корней из формул в это уравнение:

$\left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)\left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) = 2007 \cdot \left(\frac{-d + \sqrt{d^2 - 4ac}}{2c}\right)\left(\frac{-d - \sqrt{d^2 - 4ac}}{2c}\right)$

Теперь давайте упростим это уравнение:

$\frac{(b^2 - (b^2 - 4ac))(d^2 - (d^2 - 4ac))}{(4a^2)(4c^2)} = 2007 \cdot \frac{(d^2 - (d^2 - 4ac))(b^2 - (b^2 - 4ac))}{(4c^2)(4a^2)}$

Заметим, что в числителях дробей обе стороны уравнения имеют выражения $d^2 - (d^2 - 4ac)$ и $b^2 - (b^2 - 4ac)$