Question

Найдите наименьшую из сумм первичных н членов арифметической прогрессии если а1 = - 143 и а2 = - 127

Answer 1

Ответ:

S9 = - 711.

Объяснение:

1. В арифметической прогрессии (аn)

a1 = -143, a2 = -127, тогда d = a2 - a1 = -127 - (-143) = -127+143 = 16.

2. Sn = (2•a1 +d(n-1))/2•n;

В нашем случае

Sn = (2•(-143)+16•(n-1))/2•n = (-143+8n-8)•n = (-151+8n)•n = -151n + 8n^2.

2. Рассмотрим функцию

S = 8x^2 - 151x. Она квадратичная, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а= 8, 8>0. Своего наименьшего значения функция достигает в вершине параболы.

х вершины = -b/2a = 151/16 = 8 13/16.

При х ≤ 8 13/16 функция убывает, при х ≥ 8 13/16 функция возрастает.

3. Наша функция

Sn = -151n + 8n^2 определена для натуральных значений n, поэтому наименьшее значение выбираем из S8 и S9.

S8 = -151•8 + 8•64 = -1208 + 512 = -696;

S9 = -151•9 + 8•81 = -1359 + 648 = -711.

Получили, что сумма девяти первых членов прогрессии наименьшая, её значение равно -711.

(Примечание:

Можно было, не сравнивая S8 и S9, показать, что наименьшей окажется S9, т.к. 9 ближе к значению абсциссы вершины параболы 8 13/16, чем 8. Но, на мой взгляд, дальнейшие строгие рассуждения со ссылкой на симметричность параболы относительно прямой х = 8 13/16 не просты.)

Answer 2

Для нахождения наименьшей из сумм первых n членов арифметической прогрессии с данными начальными условиями (a₁ = -143 и a₂ = -127), мы можем использовать формулу суммы арифметической прогрессии.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии Sₙ вычисляется по формуле:

Sₙ = n/2 * (2a₁ + (n-1)d),

где a₁ - первый член последовательности, n - количество членов, d - разность между членами прогрессии.

Мы знаем, что a₁ = -143 и a₂ = -127. Разность d между членами можно найти, вычтя a₁ из a₂:

d = a₂ - a₁ = (-127) - (-143) = 16.

Теперь мы можем использовать формулу для вычисления суммы первых n членов арифметической прогрессии. Нам нужно найти такое значение n, при котором Sₙ минимальна.

Sₙ = n/2 * (2a₁ + (n-1)d) = n/2 * (2(-143) + (n-1)16) = n/2 * (-286 + 16n - 16) = n/2 * (16n - 302).

Для нахождения минимума этой функции Sₙ, можем найти производную и приравнять её к нулю:

dSₙ/dn = 8n - 302 = 0.

8n = 302, n = 302/8, n = 37.75.

Так как n должно быть целым числом, ближайшее целое значение для n равно 38.

Итак, наименьшая из сумм первых n членов арифметической прогрессии равна S₃₈. Давайте найдем её:

S₃₈ = 38/2 * (16 * 38 - 302) = 19 * (608 - 302) = 19 * 306 = 5814.

Ответ: наименьшая из сумм первых n членов арифметической прогрессии равна 5814, и это достигается при n = 38.