Question

Помогите пожалуйста!!! Вычислить интеграл: 1)Интеграл сверху пи/4, снизу минус пи/4 dx/cos^2x 2) интеграл сверху 2 снизу 0 х(3-х) dx

Answer 1

$1)\; \; \int\limits^{\pi /4}_{-\pi /4}\, \frac{dx}{cos^2x}=tgx\, \Big |_{-\pi /4}^{\pi /4}=tg\frac{\pi}{4}-tg(-\frac{\pi}{4} )=1+1=2$

$2)\; \; \int\limits^2_0\, x(3-x)\, dx=\int\limits^2_0\, (3x-x^2)\, dx=(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3})\Big |_0^2=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

Answer 2

Ответ:

Интеграл

Объяснение:

Answer 3

Конечно, давайте рассмотрим оба интеграла:

1. Интеграл $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2(x)}$:

Для этого интеграла мы можем воспользоваться тригонометрической подстановкой. Заметим, что $\frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)$. Теперь давайте выполним следующую замену: $u = \tan(x)$, тогда $du = \sec^2(x)dx$. Теперь мы можем переписать интеграл в виде:

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2(x)} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{u^2}$.

Интеграл $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{u^2}$ легко вычисляется:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{u^2} = \lim_{A \to \infty}\int_{-A}^{A} \frac{du}{u^2} = \lim_{A \to \infty} \left(-\frac{1}{u}\right)\Bigg|_{-A}^{A} = \lim_{A \to \infty} \left(-\frac{1}{A} + \frac{1}{A}\right) = 0$.

Итак, интеграл $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2(x)}$ равен 0.

2. Интеграл $\int_{0}^{2} x(3-x) dx$:

Для этого интеграла мы можем просто вычислить его с помощью метода интегрирования:

$\int_{0}^{2} x(3-x) dx = \int_{0}^{2} (3x - x^2) dx$.

Теперь вычислим интеграл:

$\int_{0}^{2} (3x - x^2) dx = \left[\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_0^2 = \left(\frac{3}{2}(2^2) - \frac{1}{3}(2^3)\right) - \left(\frac{3}{2}(0^2) - \frac{1}{3}(0^3)\right) = \left(6 - \frac{8}{3}\right) - 0 = \frac{10}{3}$.

Итак, интеграл $\int_{0}^{2} x(3-x) dx$ равен $\frac{10}{3}$.