Question

Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, катеты которого лежат на координатных осях, а гипотенуза является отрезком касательной к графику функции f (x) = 2x²-6 ?

Answer 1

Ответ: 9

Объяснение:

Если катеты лежат на осях, то координаты вершин А (0;у) и В (х;0)

Answer 2

Ответ: 8,46 см²

Объяснение: y=2x²-6 парабола с вершиной в точке(0;-6) и корнями (2;-2)

проведем прямую через точки (2;0) и (0;-6)

-2y=-6x+12

y=3x-6

теперь найдем уравнение касательной к параболе

2x²-6=3x-n (тк у параболы и касательной одна общая точка , то дискриминант будет равен 0)

2x²-3x-6+n=0

D=0⇒b²-4ac=0

9-4*(n-6)*2=0

9+48-8n=0

8n=57

n=57/8⇒ уравнение касательной

у=3x-57/8 она пересекает ось OX в точке

3x-57/8=0

3x=57/8

x=19/8

ось OY пересекает в точке

y=-57/8

тогда наименьшая площадь прямоугольного треугольника ограниченного осями OX и OY и касательной к параболе y=2x²-6

S=(x*y)/2=(19/8*57/8)/2=1083/128=8.46 см²

Answer 3

Для нахождения наименьшей площади прямоугольного треугольника, катеты которого лежат на координатных осях, а гипотенуза является отрезком касательной к графику функции f(x) = 2x² - 6, мы можем воспользоваться геометрическим методом.

1. Начнем с поиска точки касания касательной к графику функции. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю: f(x) = 2x² - 6 f'(x) = 4x

   4x = 0 x = 0

   Таким образом, касательная к графику функции проходит через точку (0, -6).

2. Теперь у нас есть вершина прямоугольного треугольника (0, 0), точка касания (0, -6) и нам нужно найти длину гипотенузы. Гипотенуза - это расстояние между началом координат (0, 0) и точкой касания (0, -6).

   Длина гипотенузы (h) равна расстоянию между двумя точками в декартовой системе координат и может быть найдена по теореме Пифагора:

   h² = (разница по x)² + (разница по y)² h² = (0 - 0)² + (-6 - 0)² h² = 0 + 36 h² = 36

   h = √36 h = 6

3. Теперь, когда у нас есть длина гипотенузы, мы можем найти площадь прямоугольного треугольника. Площадь треугольника равна (1/2) * (катет1) * (катет2), где катеты в данном случае равны длине отрезков, проходящих через начало координат и точку касания (0, 0) и (0, -6):

   Площадь = (1/2) * 0 * 6 Площадь = 0

Таким образом, наименьшая площадь прямоугольного треугольника, у которого катеты лежат на координатных осях, а гипотенуза является отрезком касательной к графику функции f(x) = 2x² - 6, равна 0.