Question

Помогите пожалуйста упростить выражение. sin^4-cos^4+2cos^2

Answer 1

Sin^4(x)-cos^4 (x) +2cos^2 (x) -1+1=
=sin^4 (x) -cos^4 (x) +cos^2 2(x)+1=
=sin^4-cos^4+cos^4-sin^4+1=1
(x)-не обьязательно писать 

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться формулами тригонометрии и свойствами степеней. Давайте разберемся пошагово.

Имеем выражение: sin^4(x) - cos^4(x) + 2cos^2(x).

1. Формула разности квадратов

Мы можем применить формулу разности квадратов для выражения cos^4(x) - sin^4(x). Формула разности квадратов гласит:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b).

Применяя эту формулу к нашему выражению, получаем:

cos^4(x) - sin^4(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x)).

Так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (это тригонометрическое тождество), мы можем заменить sin^2(x) в формуле:

cos^4(x) - sin^4(x) = (cos^2(x) + cos^2(x))(cos^2(x) - sin^2(x)).

2. Формула суммы квадратов

Мы также можем применить формулу суммы квадратов для выражения cos^2(x) + sin^2(x). Формула суммы квадратов гласит:

a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab.

Применяя эту формулу к нашему выражению, получаем:

cos^2(x) + sin^2(x) = (cos(x) + sin(x))^2 - 2cos(x)sin(x).

Заменяем sin^2(x) в формуле разности квадратов:

cos^4(x) - sin^4(x) = (cos^2(x) + cos^2(x))((cos(x) + sin(x))^2 - 2cos(x)sin(x)).

3. Подстановка результатов

Теперь мы можем подставить полученные значения обратно в исходное выражение:

(sin^4(x) - cos^4(x)) + 2cos^2(x) = ((cos^2(x) + cos^2(x))((cos(x) + sin(x))^2 - 2cos(x)sin(x))) + 2cos^2(x).

4. Упрощение

Далее, мы можем раскрыть скобки и собрать подобные члены:

((cos^2(x) + cos^2(x))((cos(x) + sin(x))^2 - 2cos(x)sin(x))) + 2cos^2(x) = (2cos^2(x)((cos(x) + sin(x))^2 - 2cos(x)sin(x))) + 2cos^2(x).

Объединяем подобные члены:

(2cos^2(x)((cos(x) + sin(x))^2 - 2cos(x)sin(x))) + 2cos^2(x) = 2cos^2(x)(cos^2(x) + 2cos(x)sin(x) + sin^2(x) - 2cos(x)sin(x)) + 2cos^2(x).

Упрощаем выражение:

2cos^2(x)(cos^2(x) + sin^2(x)) + 2cos^2(x) = 2cos^2(x) + 2cos^2(x) = 4cos^2(x).

Итоговый результат

Таким образом, упрощенное выражение sin^4(x) - cos^4(x) + 2cos^2(x) равно 4cos^2(x).