Question

В одном сложном часовом механизме есть 40 стрелок. Первая стрелка крутится со скоростью один оборот в час, вторая делает 2 оборота в час, …, 40-я стрелка делает 40 оборотов в час. Часы запустили из положения, когда все стрелки смотрели строго вверх. Когда в процессе работы часов встречаются две или более стрелки, эти стрелки немедленно отваливаются. Через какое время (в минутах) после запуска отвалится стрелка, вращающаяся со скоростью 18 оборотов в час?

Answer 1

т.к. все стрелки стартуют одновременно, то логично, что первыми стрелками, которые встретятся будут самая быстрая и самая медленная, т.е. 1 оборота/час и 40 оборота/час

далее вторая по скорости догонит стрелку, которая уже будет являться самой медленной, т.е. 2 оборота/час и 39 оборота/час и т.д

на восемнадцатом таком ходу 18 оборотов/час догонит стрелка со скоростью 23 оборотов/час

23 - 18 = 5 оборота/час - общая скорость (сближения)

значит их встреча произойдет через 1/5 часа = 12 минут

Ответ: 12 минут

Answer 2

Чтобы найти время, через которое отвалится стрелка, вращающаяся со скоростью 18 оборотов в час, мы должны определить, через сколько времени 18 оборотов сделает каждая стрелка, начиная с первой и заканчивая 18-й. Это произойдет на момент встречи этой стрелки с 18-й стрелкой.

1. Первая стрелка делает 1 оборот в час, поэтому через 1 час она совершит 1 оборот.
2. Вторая стрелка делает 2 оборота в час, поэтому через (1/2) часа она совершит 1 оборот.
3. Третья стрелка делает 3 оборота в час, поэтому через (1/3) часа она совершит 1 оборот.
4. И так далее, пока не дойдем до 18-й стрелки.

Суммируем все эти времена, чтобы найти момент, когда 18-я стрелка совершит 18 оборотов:

$T = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{18}$

Теперь можно вычислить это время в минутах:

$T_{\text{минуты}} = T \times 60$

Найдем значение T и переведем его в минуты:

$T = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{18}$

$T \approx 1.69314$

$T_{\text{минуты}} \approx 1.69314 \times 60 \approx 101.59 \text{ минуты}$

Итак, стрелка, вращающаяся со скоростью 18 оборотов в час, отвалится примерно через 101.59 минуты после запуска.