Question

все плоские углы при вершине треугольной пирамиды прямые.Площади боковых граней равны 4,8,9. найдите объем пирамиды

Answer 1

Примем вершину пирамиды в начале координат.

Тогда тогда боковые рёбра равны x, y, z.

Выразим площади боковых граней:

xz = 8,

yz = 16,

xy = 18.

Решим эту систему: z = 8/x. y*(8/x) = 16, отсюда у = 2х. Подставим в 3 уравнение: х * 2х = 18,   2х² = 18  или х = +-√9 = +-3.

Отрицательное значение не принимаем, примем х = 3, тогда у =2*3 = 6, z = 8/3.

Найдём стороны основания по Пифагору.

a = √(3² + 6²) = √(9 +36) = √45 = 3√5.

b = √(3² + (8/3)²) = √(6 +(64/9)) = √(100/9) = 10/3.

c =√(6² + (8/3)²) = √(36 +(64/9)) = √(388/9) = √388/3 ≈ 6,566.

Найдём площадь одной из граней.

So = (1/2)xy = (1/2)*3*6 = 9/

Ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*9*(8/3) = 8 куб.ед.

.

Answer 2

Чтобы найти объем треугольной пирамиды, у которой все плоские углы при вершине прямые, можно воспользоваться формулой для объема пирамиды:

V = (1/3) * S_base * h

Где:

• V - объем пирамиды.
• S_base - площадь основания пирамиды.
• h - высота пирамиды от вершины до основания.

Для треугольной пирамиды с прямыми углами при вершине, основание которой является треугольником, площадь основания можно найти как сумму площадей боковых граней:

S_base = S1 + S2 + S3

Где S1, S2 и S3 - площади боковых граней пирамиды. В данном случае, у нас есть три боковых грани с площадями 4, 8 и 9:

S_base = 4 + 8 + 9 = 21

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды (h). Поскольку все плоские углы при вершине пирамиды прямые, высоту можно найти, используя подобие треугольников. По сути, высота пирамиды разбивает ее на три подобных треугольника, включая основание и две боковые грани.

Давайте обозначим h1 как высоту, опущенную из вершины пирамиды на одну из боковых граней (площадь 4), и h2 как высоту, опущенную из вершины на другую боковую грань (площадь 8). Тогда:

h1/h2 = S1/S2 = 4/8 = 1/2

Таким образом, h1 = (1/2) * h2.

Из подобия треугольников также следует, что h1 + h2 = h, где h - полная высота пирамиды.

Теперь мы можем решить систему уравнений:

h1 = (1/2) * h2 h1 + h2 = h

Подставив первое уравнение во второе:

(1/2) * h2 + h2 = h

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

h2 + 2h2 = 2h

3h2 = 2h

Теперь делим обе стороны на 3h, чтобы найти h:

h2/h = 2/3

h = (3/2) * h2

Теперь мы знаем, что высота пирамиды (h) равна (3/2) * h2.

Теперь мы можем найти объем пирамиды, используя формулу:

V = (1/3) * S_base * h

V = (1/3) * 21 * [(3/2) * h2]

V = (7/2) * h2

Теперь нам нужно найти значение h2. Для этого воспользуемся подобием треугольников для одной из боковых граней (площадь 4):

h2/4 = h/9

h2 = (4/9) * h

Теперь мы можем подставить значение h2 в формулу для объема:

V = (7/2) * [(4/9) * h]

V = (14/9) * h

Теперь мы можем подставить значение h (выразив его через h2) из предыдущего уравнения:

V = (14/9) * [(3/2) * h2]

V = (21/9) * h2

V = (7/3) * h2

Теперь у нас есть значение объема пирамиды:

V = (7/3) * h2

V = (7/3) * [(4/9) * h]

V = (28/27) * h

Теперь, если вы найдете значение h (высоты пирамиды), вы сможете найти объем пирамиды, используя эту формулу.