Question

Вычисли наибольшее и наименьшее значения функции y(x)=4⋅sinx−18⋅cosx

Answer 1

/////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для вычисления наибольшего и наименьшего значений функции y(x) = 4⋅sin(x) - 18⋅cos(x), мы можем воспользоваться производными. Сначала найдем производную функции:

y'(x) = 4⋅cos(x) + 18⋅sin(x).

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

4⋅cos(x) + 18⋅sin(x) = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение. Для этого поделим обе стороны на 2:

2⋅cos(x) + 9⋅sin(x) = 0.

Теперь мы можем выразить tan(x) и найти угол, при котором это уравнение выполняется:

tan(x) = -2/9.

Используя арктангенс, найдем значение x:

x = arctan(-2/9).

Теперь мы найдем значение функции в точках, где производная равна нулю, чтобы определить максимум и минимум:

y(arctan(-2/9)) = 4⋅sin(arctan(-2/9)) - 18⋅cos(arctan(-2/9)).

Для нахождения синуса и косинуса этого угла, можно воспользоваться соотношениями треугольников. Создадим прямоугольный треугольник с катетами 2 и 9, так что тангенс угла между гипотенузой и катетом 2 равен -2/9. Значит, гипотенуза равна sqrt(2^2 + 9^2) = sqrt(4 + 81) = sqrt(85).

Теперь мы можем найти синус и косинус угла:

sin(arctan(-2/9)) = 2/√85 cos(arctan(-2/9)) = 9/√85

Теперь найдем значение функции:

y(arctan(-2/9)) = 4⋅(2/√85) - 18⋅(9/√85).

Вычислите числовые значения и упростите:

y(arctan(-2/9)) ≈ 0.474 и y(arctan(-2/9)) ≈ -10.67

Таким образом, наибольшее значение функции y(x) приближенно равно 0.474, а наименьшее значение приближенно равно -10.67.