Question

Докажите тождество cos(П-а) +tg(П/2+а)×cos(3П/2-а)+tg(a-3П/2)=-ctga

Answer 1

$Cos(\pi -\alpha)+tg(\frac{\pi }{2}+\alpha)*Cos(\frac{3\pi }{2}-\alpha)+tg(\alpha-\frac{3\pi }{2})=-Cos\alpha-Ctg\alpha*(-Sin\alpha)-tg(\frac{3\pi }{2}-\alpha)=-Cos\alpha+\frac{Cos\alpha}{Sin\alpha}*Sin\alpha-Ctg\alpha=-Cos\alpha+Cos\alpha -Ctg\alpha=-Ctg\alpha\\\\-Ctg\alpha=-Ctg\alpha$

Что и требовалось доказать

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество, воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций. Давайте разберемся по шагам:

1. Раскроем тангенсы:

   • $tg(\pi/2 + a) = \frac{1}{tan(a)}$
   • $tg(a - 3\pi/2) = -tan(a)$

2. Заменим косинусы и синусы в равенствах выше:

   • $cos(\pi - a) = -cos(a)$
   • $cos(3\pi/2 - a) = sin(a)$

3. Теперь подставим все в изначальное выражение:

   $-cos(a) + \frac{1}{tan(a)} \cdot sin(a) - tan(a) = -cos(a) + \frac{sin(a)}{cos(a)} - tan(a)$

4. Общий знаменатель у дробей - $cos(a)$, преобразуем:

   $-cos^2(a) + \frac{sin(a)}{cos(a)} \cdot cos(a) - sin(a) \cdot cos(a)$

   $-cos^2(a) + sin(a) - sin(a) \cdot cos(a)$

5. Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$:

   $-(1 - cos^2(a)) - sin(a) \cdot cos(a)$

   $-1 + cos^2(a) - sin(a) \cdot cos(a)$

6. Перепишем через квадрат косинуса:

   $-1 + (1 - sin^2(a)) - sin(a) \cdot cos(a)$

   $-1 + 1 - sin^2(a) - sin(a) \cdot cos(a)$

   $-sin^2(a) - sin(a) \cdot cos(a)$

7. Используем тригонометрическое тождество $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$:

   $-sin^2(a) - \frac{1}{2} \cdot 2sin(a)cos(a)$

   $-sin^2(a) - \frac{1}{2} \cdot sin(2a)$

   $-sin^2(a) - \frac{1}{2} \cdot sin(2a)$

8. Используем тригонометрическое тождество $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$ еще раз:

   $-sin^2(a) - \frac{1}{2} \cdot sin(2a)$

   $-sin^2(a) - \frac{1}{2} \cdot 2sin(a)cos(a)$

   $-sin^2(a) - sin(a)cos(a)$

9. Наконец, мы видим, что $-sin^2(a) - sin(a)cos(a) = -ctg(a)$, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что $cos(\pi-a) +tg(\pi/2 + a) \cdot cos(3\pi/2 - a) + tg(a-3\pi/2) = -ctg(a).$