Question

Доведите неровность √ab + √cd ≤ √(a+c)×(b+d)​

Answer 1

Решение приложено

============================================================

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, давайте воспользуемся неравенством о средних арифметической и геометрической прогрессии (неравенство о средних). Это неравенство утверждает, что для любых положительных чисел $x$ и $y$:

$$\sqrt{xy} \leq \frac{x+y}{2}.$$

Применим это неравенство дважды. Сначала применим его к парам чисел $\sqrt{ab}$ и $\sqrt{cd}$, и затем применим его к парам чисел $\sqrt{a+c}$ и $\sqrt{b+d}$:

1. Для $\sqrt{ab}$ и $\sqrt{cd}$:

$$\sqrt{ab} + \sqrt{cd} \leq \frac{\sqrt{ab} + \sqrt{cd}}{2} = \frac{\sqrt{ab} + \sqrt{cd}}{2}.$$

2. Для $\sqrt{a+c}$ и $\sqrt{b+d}$:

$$\sqrt{a+c} + \sqrt{b+d} \leq \frac{\sqrt{a+c} + \sqrt{b+d}}{2} = \frac{\sqrt{a+c} + \sqrt{b+d}}{2}.$$

Теперь у нас есть два неравенства. Умножим их между собой:

$$\left(\frac{\sqrt{ab} + \sqrt{cd}}{2}\right) \times \left(\frac{\sqrt{a+c} + \sqrt{b+d}}{2}\right) \geq \left(\sqrt{ab} + \sqrt{cd}\right) \times \left(\sqrt{a+c} + \sqrt{b+d}\right).$$

Упростим левую сторону:

$$\frac{\left(\sqrt{ab} + \sqrt{cd}\right) \times \left(\sqrt{a+c} + \sqrt{b+d}\right)}{4} \geq \left(\sqrt{ab} + \sqrt{cd}\right) \times \left(\sqrt{a+c} + \sqrt{b+d}\right).$$