Question

Сумма второго и четвёртого членов геометрической прогрессии равна -30, а сумма третьего и пятого членов -90. Найдите знаменатель этой прогрессии. С подробным решением.

Answer 1

$\left \{ {{b_{3}+b_{5}=-90} \atop {b_{2}+b_{4}=-30}} \right.\\\\\left \{ {{b_{1}q^{2}+b_{1}q^{4}=-90} \atop {b_{1}q+b_{1}q^{3}=-30}} \right.\\\\:\left \{ {{b_{1}q^{2}(1+q^{2})=-90} \atop {b_{1}q(1+q^{2})=-30}} \right.\\ ---------\\q=3$

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как $a$ и знаменатель как $q$. Тогда члены прогрессии будут следующими:

1. Первый член: $a$
2. Второй член: $aq$
3. Третий член: $aq^2$
4. Четвёртый член: $aq^3$
5. Пятый член: $aq^4$

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. $aq + aq^3 = -30$
2. $aq^2 + aq^4 = -90$

Теперь давайте решим эту систему уравнений.

1. $aq(1 + q^2) = -30$

2. $aq^2(1 + q^2) = -90$

Теперь мы можем поделить второе уравнение на первое:

$\frac{aq^2(1 + q^2)}{aq(1 + q^2)} = \frac{-90}{-30}$

Упростим выражение, убирая общие множители:

$q = 3$

Теперь, когда мы знаем значение $q$, можем найти первый член прогрессии $a$ с помощью первого уравнения:

$a(1 + 3^2) = -30$

$a(1 + 9) = -30$

$10a = -30$

$a = -3$

Таким образом, первый член прогрессии $a = -3$ и знаменатель $q = 3$.