Question

А)Составить уравнение касательной к функции у = х^4+х^2-7 в точке х0=2; б) Найти скорость и ускорение тела в момент времени t, движущегося по закону х(t) = t^3+t^2 (м).

Answer 1

1.

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x₀:

y - y₀ = f ` (x₀) · (x - x₀)

f(x) = x⁴+x²-7

f(x₀) = f(2) = 2⁴+2²-7 = 13

f ` (x) = (x⁴+x²-7)`=4x³+2x

f ` (x₀) = f ` (2) = 4·2³+2·2=36

y-13=36·(x-2)

y=36x-59   - уравнение касательной

2.

v(t) =x ` (t) = (t³ + t²) ` = 3t²+2t - скорость

a(t)=v ` (t) = (3t²+2t)` =6t+2  -  ускорение

Answer 2

А) Чтобы найти уравнение касательной к функции y = x^4 + x^2 - 7 в точке x0 = 2, нам сначала нужно найти производную этой функции и затем подставить значение x0. Начнем с вычисления производной:

y(x) = x^4 + x^2 - 7

y'(x) = 4x^3 + 2x

Теперь найдем производную в точке x0 = 2:

y'(2) = 4(2)^3 + 2(2) = 32 + 4 = 36

Теперь мы имеем производную функции в точке x0 = 2. Уравнение касательной линии в данной точке можно записать в виде:

y - y0 = m(x - x0),

где (x0, y0) - это координаты точки (2, y(2)), а m - это значение производной в этой точке (m = 36). Подставим значения:

y - y(2) = 36(x - 2)

y - (2^4 + 2^2 - 7) = 36(x - 2)

y - (16 + 4 - 7) = 36(x - 2)

y - 13 = 36(x - 2)

Таким образом, уравнение касательной к функции y = x^4 + x^2 - 7 в точке x0 = 2 имеет вид:

y = 36(x - 2) + 13.

Б) Для нахождения скорости и ускорения тела, движущегося по закону x(t) = t^3 + t^2 (м), мы сначала найдем производные по времени t.

1. Найдем первую производную x'(t) (скорость):

x(t) = t^3 + t^2

x'(t) = 3t^2 + 2t

2. Теперь найдем вторую производную x''(t) (ускорение):

x''(t) = 6t + 2

Таким образом, скорость тела в момент времени t определяется как x'(t) = 3t^2 + 2t, а ускорение тела в этот момент времени - как x''(t) = 6t + 2.