Question

"Найдите все пары натуральных чисел, сумма которых в два раза меньше их произведения" Помогите решить, пожалуйста. Методом тыка нашёл две пары - 4,4;6,3, а как объяснить алгоритм, не знаю. ​

Answer 1

Пусть первое число будет х, тогда второе будет у

х+у - сумма этих чисел

х*у - соответственно произведение. Составим уравнение.

2*(х+у)= х*у

$x + y = \frac{xy}{2} \\ x = \frac{xy}{2} - y \\ x = y( \frac{x}{2} - 1) \\ y = \frac{2x}{x - 2}$

Построив график функции можно увидеть , что при натуральных х график принимает натуральные значения лишь в трёх случаях :

(3;6) (4;4) (6;3), при х≤1 у принимает отрицательные значения (не натуральные),при х = 2 у стремится в бесконечность, при х>6 у стремится к 2 , но никогда 2 не достигнет

Соответственно, таких пар лишь три

Answer 2

В соответствии с условием задачи, составим равенство

2(х+y)=xy, где (х;у) - искомые пары чисел

Из данного равенства следует, что ху делится на 2, значит, произведение чисел ху является чётным числом, следовательно, хотя бы одно из чисел произведения четное число.

Пусть х - четное число, значит, его можно представить следующим образом: х=2n, где n∈N

Запишем наше равенство, подставляя вместо переменной икс  2n:

2(2n+y)=2ny

Находим у:

2n+y=2ny/2

2n+y=ny

2n=ny-y

2n=y(n-1)

y=2n/(n-1), n≠1

Итак, получили пару чисел (2n; 2n/(n-1))

Преобразуем выражение y= 2n/(n-1) - выделим целую часть:

y=2n/(n-1) = (2(n-1)+2)/(n-1) = 2+ 2/(n-1)

y= 2+ 2/(n-1)

y-2 = 2/(n-1)

Очевидно, что y-2 = 2/(n-1)

Значит, 2 должно делиться нацело на n-1, т.е есть два варианта:

n-1=1  и n-1=2

n=2    и  n=3

Значит, при n=2  х=2n=2*2=4, тогда у=2n/(n-1)=4/(2-1)=4/1=4

             при n=3  x=2n=2*3=6, тогда y=2n/(n-1)=6/(3-1)=6/2=3

Получаем пары чисел (4;4) и (6;3)

Если в паре (x;y)  число y- четно, то пара (3;6) также подойдёт под условие задачи.   

   

Answer 3

Это задача на поиск пар натуральных чисел, для которых выполняется условие: "сумма чисел в два раза меньше их произведения". Давайте представим пару натуральных чисел как (x, y), где x и y - это числа, которые мы ищем. Тогда условие можно записать следующим образом:

x + y = 2xy

Теперь мы можем попробовать решить эту уравнение методом подбора значений x и y. Давайте попробуем натуральные числа, начиная с 1 и постепенно увеличивая их, чтобы найти пары, которые удовлетворяют условию:

1. Пусть x = 1. Тогда уравнение становится: 1 + y = 2 * 1 * y 1 + y = 2y

   Решение этого уравнения: y = 1

   Итак, у нас есть первая пара: (1, 1).

2. Пусть x = 2. Тогда уравнение становится: 2 + y = 2 * 2 * y 2 + y = 4y

   Решение этого уравнения: y = 1/2

   Но в данном случае, y не является натуральным числом, поэтому это не подходит.

3. Пусть x = 3. Тогда уравнение становится: 3 + y = 2 * 3 * y 3 + y = 6y

   Решение этого уравнения: y = 1/3

   Также не подходит, так как y не натуральное число.

4. Пусть x = 4. Тогда уравнение становится: 4 + y = 2 * 4 * y 4 + y = 8y

   Решение этого уравнения: y = 4

   Итак, у нас есть вторая пара: (4, 4).

5. Пусть x = 5. Тогда уравнение становится: 5 + y = 2 * 5 * y 5 + y = 10y

   Решение этого уравнения: y = 1/5

   Но и здесь y не является натуральным числом.

Таким образом, у нас есть две пары натуральных чисел, которые удовлетворяют условию задачи: (1, 1) и (4, 4).