Question

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 18 см. Найди длины катетов этого треугольника, при которых площадь треугольника будет наибольшей. Катеты треугольника должны быть равны см и см (Пиши длины сторон в возрастающей последовательности). Максимальная площадь равна см².

Answer 1

Ответ:

Прямоугольный треугольник равнобедренный! Катеты равны 9 см.

Объяснение:

Обозначим через х см длину одного из катетов, тогда длинна второго катета: (18-х) см.

Площадь прямоугольного треугольника S равна:

S=a*b/2, где

а, b - катеты данного треугольника.

Запишем функцию S(x) - зависимости площади треугольника от длинны его катетов:

S(x)=x*(18-x)/2;

S(x)= -0.5x^2+9x

Возможно эта функция имеет максимум! Попытаемся его найти.

Действия стандартные:

1. На всякий случай ищем область определения.

У нас имеется квадртный трехчлен, значит без сюрпризов:

x ∈ ]-∞; +∞[.

2. Ищем экстремум функции. Для чего находим производную функции, и приравниваем ее к 0:

S'(x)= (-0.5x^2+9x)'= -0.5*2*x+9= -x+9;

S'(x)=0;

-x+9=0;

x=9.

Экстремум у функции есть, и он всего один! Определяем, что это - максимум или минимум. Определим, как меняется знак производной при переходе через точку экстремума. Хоршо, что область определения у нас - вся ось абсцисс, а т.к. и экстремум всего один, то мы смело берем любое число слева от абсциссы экстремума:

х=0 (0 левее 9);

S'(0)= -0.5*2*0+9= 9;

Теперь берем любое число правее х=9:

х=10;

S'(10)= -0.5*2*10+9= -10+9= -1;

Т.о. при перехде через ноль производная меняет знак с "+" на "-". Следовательно наш экстремум - максимум!

Имеем максимум площади при длине одного катета 9 см, длина второго катета (18-х)=18-9=9 см.

Прямоугольный треугольник равнобедренный!

Answer 2

Давайте обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как a и b см, где a < b.

Известно, что сумма катетов равна 18 см: a + b = 18

Мы хотим найти такие значения a и b, при которых площадь треугольника будет максимальной. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить следующим образом: S = (1/2) * a * b

Мы также знаем, что a + b = 18, следовательно, мы можем выразить a в терминах b: a = 18 - b

Теперь мы можем подставить это выражение для a в формулу для площади и найти S как функцию от b: S(b) = (1/2) * (18 - b) * b

Теперь давайте найдем производную S по b и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума:

dS/db = 0

(1/2) * (18 - b) - (1/2) * b = 0

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

18 - b - b = 0

Теперь объединим b и -b:

18 - 2b = 0

Выразим b:

2b = 18

b = 18 / 2

b = 9

Теперь, когда мы нашли значение b, мы можем найти значение a с использованием уравнения a + b = 18:

a + 9 = 18

a = 18 - 9

a = 9

Таким образом, длины катетов, при которых площадь прямоугольного треугольника максимальна, равны 9 см и 9 см.