Question

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 14 см. Найди длины катетов этого треугольника, при которых площадь треугольника будет наибольшей. Катеты треугольника должны быть равны см и см (Пиши длины сторон в возрастающей последовательности). Максимальная площадь равна см².

Answer 1

Пусть один катет х, другой 14 - х.

Площадь S = (1/2)*x*(14 - x( = (-1/2)x² + 7x.

Производная этой функции S' = (-1/2)*2x + 7 = -x + 7.

Приравняем её нулю: -x + 7 = 0. х = 7.

Проверяем полученную критическую точку на экстремум.

х =   6   7    8

S' = 1    0    -1.

Как видим, в точке х = 7 максимум функции.

Ответ: длины катетов по 7 см.

максимальная площадь Sмакс = (1/2)*7*7 = 49/2 = 24,5 см².

 

Answer 2

Давайте решим эту задачу. Обозначим длины катетов как $x$ и $y$, где $x$ - длина меньшего катета, а $y$ - длина большего катета. Так как сумма катетов равна 14 см, то у нас есть уравнение:

$x + y = 14$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов:

$S = \frac{1}{2}xy$

Теперь подставим $x = 14 - y$ в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2}(14 - y)y$

Упростим:

$S = 7y - \frac{1}{2}y^2$

Так как нам дано, что максимальная площадь равна $S = \text{см}^2$, мы можем найти $y$ при котором $S$ будет максимальной, найдя вершину параболы. Парабола открывается вниз, так что вершина будет находиться в точке максимального значения функции.

Для нахождения вершины используем формулу: $y_{\text{вершины}} = -\frac{b}{2a}$, где у нас $a = -\frac{1}{2}$ и $b = 7$.

$y_{\text{вершины}} = -\frac{7}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 7$

Таким образом, $y = 7$ см.

Подставляя $y = 7$ обратно в уравнение $x + y = 14$, получим:

$x + 7 = 14 \Rightarrow x = 7$

Итак, длины катетов, при которых площадь прямоугольного треугольника будет наибольшей, равны $x = 7$ см и $y = 7$ см.