Question

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 22 см. Найди длины катетов этого треугольника, при которых площадь треугольника будет наибольшей. Катеты треугольника должны быть равны см и см (Пиши длины сторон в возрастающей последовательности). Максимальная площадь равна см².

Answer 1

Пусть один катет равен х, второй 22 - х.

Площадь S = (1/2)*x*(22 - x) = 11x - (x²/2).

Производная полученной функции равна y' = 11 - (1/2)*2х = 11 - х.

Приравняем нулю производную: 11 - х = 0, х = 11.

Находим знаки производной:

х =   10      11       12

y' =   1       0        -1.

Как видим, в точке х = 11 максимум функции.

Ответ: максимальная площадь прямоугольного треугольника при равенстве его катетов. S = (1/2)*11*11 = 60,5 см².

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу. Пусть a и b - длины катетов прямоугольного треугольника. Из условия задачи, у нас есть a + b = 22.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как S = (1/2) * a * b.

Теперь мы можем выразить a как a = 22 - b.

Подставляя это значение в формулу для площади, получим:

S = (1/2) * (22 - b) * b

Для того чтобы найти максимум этой функции S относительно b, можно найти её производную и приравнять к нулю:

dS/db = (1/2) * (22 - 2b) = 0

Решая это уравнение, найдем b:

22 - 2b = 0 2b = 22 b = 11

Теперь мы можем найти значение a:

a = 22 - b a = 22 - 11 a = 11

Итак, получаем, что максимальная площадь треугольника будет при a = 11 см и b = 11 см.

Площадь треугольника будет:

S = (1/2) * 11 * 11 = 121 / 2 = 60.5 см².

Таким образом, при длинах катетов 11 см и 11 см, площадь прямоугольного треугольника будет максимальной и равной 60.5 см².