Question

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 12 см. Найди длины катетов этого треугольника, при которых площадь треугольника будет наибольшей.

Answer 1

6 и 6 стороны
(6*6)/2=18

Answer 2

Наибольшая площадь у равнобедренного прямоугольного треугольника, значит, если сумма катетов - 12, то его катеты равны 6 и 6.

Answer 3

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны x и y см, где x+y=12 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна S = (1/2)*x*y.

Так как x+y=12, то y=12-x. Подставим это значение в формулу площади:

S = (1/2)*x*(12-x) = 6x - (1/2)*x^2.

Чтобы найти максимальное значение площади, найдем экстремум функции площади S(x) с помощью производной.

S'(x) = 6 - x.

Чтобы найти экстремум, приравняем производную к нулю:

6 - x = 0. x = 6.

Таким образом, x = 6 см.

Подставим эту длину катета в уравнение x+y=12:

6 + y = 12. y = 6.

Таким образом, длины катетов, при которых площадь треугольника будет наибольшей, равны 6 см и 6 см.

Answer 4

Давайте обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как \(x\) и \(y\), где \(x\) и \(y\) — длины катетов. Из условия задачи известно, что сумма катетов равна 12 см, то есть \(x + y = 12\).

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить формулой:

\[S = \frac{1}{2}xy\]

Теперь мы можем выразить одну переменную через другую из уравнения \(x + y = 12\). Допустим, мы выразим \(x\) через \(y\):

\[x = 12 - y\]

Теперь подставим это выражение для \(x\) в формулу для площади:

\[S(y) = \frac{1}{2}(12 - y)y\]

Упростим уравнение:

\[S(y) = 6y - \frac{1}{2}y^2\]

Теперь у нас есть квадратичная функция площади в зависимости от одной переменной (\(y\)). Чтобы найти \(y\), при котором площадь наибольшая, нужно найти вершину параболы, заданной этой функцией.

Вершина параболы задается формулой \(y = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты квадратичной функции \(ax^2 + bx + c\). В нашем случае \(a = -\frac{1}{2}\), \(b = 6\).

\[y_{\text{вершины}} = -\frac{6}{2(-\frac{1}{2})} = -\frac{6}{-1} = 6\]

Таким образом, \(y = 6\) см. Теперь подставим \(y\) обратно в уравнение \(x + y = 12\), чтобы найти \(x\):

\[x = 12 - 6 = 6\]

Итак, длины катетов, при которых площадь прямоугольного треугольника максимальна, равны \(x = 6\) см и \(y = 6\) см.