Question

Найдите tg угла наклона касательной к графику функции y(x), проходящей через точку А 1)y=0.2x^2+2x-4,A(2;0.8) 2)y=-3x^2-x+5,A(-2;-5) 3)y=x^2-1/x-5,A(3;3 2/3)

Answer 1

Тангенс угла наклона касательной равен производной в точке касания к графику функции.

tgα = y'(x).

1) y = 0,2x^2 + 2x - 4, A(2; 0,8).

Проверяем - принадлежит ли точка данной функции.

0,2*2² + 2*2 - 4 = 0,8. Да, принадлежит.

Находим производную: y' = 0,2*2x + 2.

y'(2) = 0,2*2*2 + 2 = 2,8.

Ответ:  tgα = 2,8.

2) y = -3x^2 - x + 5,  А(-2; -5).

Аналогично проверяем - точка А на кривой (парабола).

y' = -6x - 1,

y'(-2) = -6*(-2) - 1 = 12 - 1 = 11.

Ответ: tgα = 11.

3) y = (x^2 - 1)/(x - 5), A(3; 3 2/3). (Ели так дано задание)

В этой задаче сложное решение, так как точка А не лежит на кривой.

Производная : y' = (2x(x - 5) - 1*(x^2 - 1))/(x - 5)^2) = (x^2 - 10x + 1)/((x - 5)^2).

Производная в точке касания хо: (xо^2 - 10xо + 1)/((xо- 5)^2).

Получим уравнение касательной проходящей через точку A(3;3 2/3):

3 2/3 = ((xо^2 - 10xо + 1)/((xо- 5)^2))(3 - хо) + ((xо^2 - 1)/(xо - 5)).

Решение затруднено, так функция - кубическая.

Ориентировочно решение найдено графически в программе ГеоГебра: у = -18,76х + 59,95.

График приведен во вложении.

Answer 2

Чтобы найти угол наклона касательной к графику функции, вам потребуется найти производную функции и подставить в неё координаты точки $A$ для получения углового коэффициента (наклона касательной).

1. $y = 0.2x^2 + 2x - 4$

   Найдем производную функции $y'$:

   $y' = 0.4x + 2$

   В точке $A(2, 0.8)$, $y' = 0.4 \cdot 2 + 2 = 2.8$.

   Тангенс угла наклона касательной равен $2.8$.

2. $y = -3x^2 - x + 5$

   Найдем производную функции $y'$:

   $y' = -6x - 1$

   В точке $A(-2, -5)$, $y' = -6 \cdot (-2) - 1 = 11$.

   Тангенс угла наклона касательной равен $11$.

3. $y = x^2 - \frac{1}{x} - 5$

   Найдем производную функции $y'$:

   $y' = 2x + \frac{1}{x^2}$

   В точке $A(3, \frac{8}{3})$, $y' = 2 \cdot 3 + \frac{1}{3^2} = 6.11$.

   Тангенс угла наклона касательной равен $6.11$.

Таким образом, тангенс угла наклона касательной для каждой из функций равен:

1. $2.8$
2. $11$
3. $6.11$