Question

Знайдіть ( 3х-2) dх якщо при х= 2 первісна функції 7

Answer 1

$\displaystyle \int (3x-2)\, dx=\frac{3x^2}2-2x+C$

Где С - константа.

По условию:

$\displaystyle \frac{3\cdot 2^2}2-2\cdot 2+C=7\\\\C=7-2=5$

Ответ: $\displaystyle \tt \frac{3x^2}2-2x+5$

Answer 2

Щоб знайти інтеграл виразу (3x - 2) dx, спершу знайдемо інтеграл від кожного з членів окремо і потім їх зіберемо разом:

∫(3x - 2) dx = ∫3x dx - ∫2 dx

Тепер обчислимо ці інтеграли:

∫3x dx = (3/2)x^2 + C₁, де C₁ - константа інтеграції.

∫2 dx = 2x + C₂, де C₂ - інша константа інтеграції.

Тепер ми можемо об'єднати ці два інтеграли:

∫(3x - 2) dx = (3/2)x^2 + C₁ - 2x - C₂

Тепер нам відомо, що при x = 2 первісна функції дорівнює 7. Використовуючи це, ми можемо знайти значення констант C₁ і C₂:

(3/2)(2^2) + C₁ - 2(2) - C₂ = 7

(3/2)(4) + C₁ - 4 - C₂ = 7

6 + C₁ - 4 - C₂ = 7

2 + C₁ - C₂ = 7

Тепер додамо C₂ до обох сторін рівняння і віднімемо 2:

C₁ - C₂ = 7 - 2

C₁ - C₂ = 5

Отже, ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими:

(3/2)(4) + C₁ - 4 - C₂ = 7 C₁ - C₂ = 5

Розв'язавши цю систему, ми можемо знайти значення констант C₁ і C₂:

C₁ = 7 - (3/2)(4) + 4 + C₂ C₁ = 7 - 6 + 4 + C₂ C₁ = 5 + C₂

Тепер ми знаємо вираз для C₁ через C₂. Тепер ми можемо записати наш інтеграл знайдений вираз для C₁:

∫(3x - 2) dx = (3/2)x^2 + C₁ - 2x - C₂ ∫(3x - 2) dx = (3/2)x^2 + (5 + C₂) - 2x - C₂

Це є загальний вираз для інтеграла. Для обчислення конкретної величини при x = 2, потрібно знати значення C₂, яке може бути знайдено, якщо дані про первісну функцію більш докладні.