Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ Розв'язати нерівність (x-2)(4x+1)<(x+1)²+3

Answer 1

(x - 2)(4x + 1) < (x + 1)² + 3

4x² + x - 8x - 2 < x² + 2x + 1 + 3

4x² - 7x - 2 - x² - 2x - 4 < 0

3x² - 9x - 6 < 0

x² - 3x - 2 < 0

x² - 3x - 2 = 0

D = (-3)² - 4 * (- 2) = 9 + 8 = 17

$x_{1} =\frac{3-\sqrt{17}}{2}\\\\x_{2}=\frac{3+\sqrt{17}}{2} \\\\+++\frac{3-\sqrt{17}}{2}---\frac{3+\sqrt{17}} {2}+++\\\\Otvet:\boxed{(\frac{3-\sqrt{17}}{2};\frac{3+\sqrt{17}}{2})}$

Answer 2

Для вирішення даної нерівності спробуймо розкрити дужки, спростити вираз та знайти інтервали, для яких нерівність буде виконуватися. Ось як це можна зробити:

1. Розкриваємо дужки на обох сторонах нерівності:

(x - 2)(4x + 1) < (x + 1)² + 3

4x² - 8x + x - 2 < x² + 2x + 1 + 3

2. Спрощуємо вираз:

4x² - 7x - 2 < x² + 2x + 4

3. Переносимо всі члени на одну сторону:

4x² - 7x - 2 - x² - 2x - 4 < 0

3x² - 9x - 6 < 0

4. Ділимо обидві сторони на 3 (помножити нерівність на -1 не вплине на її напрямок, тому що ми шукаємо, де вона менше нуля):

x² - 3x - 2 < 0

5. Знаходимо корені квадратного рівняння x² - 3x - 2 = 0:

Для знаходження коренів можна використовувати квадратну формулу:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

a = 1, b = -3, c = -2

x₁ = (3 + √(3² - 4×1×(-2))) / (2×1) = (3 + √(9 + 8)) / 2 = (3 + √17) / 2

x₂ = (3 - √(3² - 4×1×(-2))) / (2×1) = (3 - √(9 + 8)) / 2 = (3 - √17) / 2

6. Тепер ми маємо два корені: x₁ і x₂. Ці корені розділяють вісь x на три інтервали: (-безкінечність, x₁), (x₁, x₂), і (x₂, +безкінечність).

7. Проведемо тестування точок в кожному з цих інтервалів:

• Візьмемо точку з першого інтервалу, наприклад, x = 0. Підставимо x = 0 у нерівність: 0² - 3×0 - 2 < 0. Очевидно, що ця нерівність виконується.

• Візьмемо точку з другого інтервалу, наприклад, x = (3 - √17) / 2. Підставимо x = (3 - √17) / 2 у нерівність: ((3 - √17) / 2)² - 3×((3 - √17) / 2) - 2 < 0. Також ця нерівність виконується.

• Візьмемо точку з третього інтервалу, наприклад, x = (3 + √17) / 2. Підставимо x = (3 + √17) / 2 у нерівність: ((3 + √17) / 2)² - 3×((3 + √17) / 2) - 2 < 0. Ця нерівність також виконується.

Отже, нерівність ((3 + √17) / 2)² - 3×((3 + √17) / 2) - 2 < 0 виконується для всіх x, тобто для всього діапазону від мінус безкінечності до плюс безкінечності.

Таким чином, рішення нерівності: x ∈ (-безкінечність, +безкінечність).