Question

І. Розв’язати рівняння.1.1. log = 31.2. log₃(x² +2x+3) = log₃6

Answer 1

1.1 ОДЗ  x>0

x=2³⇒x=8∈ ОДЗ

Ответ х=8

1.2  log₃(x² +2x+3) = log₃6; ОДЗ найдем, решив методом интервалов неравенство  x² +2x+3>0  здесь первый коэффициент 1. а дискриминант  отрицательный. 4-4*3=-8, значит, для любого х      x² +2x+3>0, т.е. областью определения служит любое действительное число.

x² +2x+3 = 6

x² +2x-3 = 0 По Виету х=1, х=-3 оба корня входя т в ОДЗ,

Ответ 1; -3

Answer 2

Для розв'язання цих рівнянь ми можемо скористатися властивостями логарифмів. Давайте розглянемо кожне з них окремо:

1. logₓ(31) = 1

Це рівняння вже має розв'язок, а саме:

x = 31

2. log₃(x² + 2x + 3) = log₃(6)

Оскільки обидва логарифми мають основу 3, ми можемо використовувати властивість логарифмів, яка стверджує, що якщо logₐ(b) = logₐ(c), то b = c. Застосуємо цю властивість до нашого рівняння:

x² + 2x + 3 = 6

Тепер давайте розв'яжемо це квадратне рівняння:

x² + 2x + 3 - 6 = 0

x² + 2x - 3 = 0

Тепер ми можемо використовувати квадратну формулу для знаходження розв'язків:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

У нашому випадку a = 1, b = 2 і c = -3:

x = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1)

x = (-2 ± √(4 + 12)) / 2

x = (-2 ± √16) / 2

x = (-2 ± 4) / 2

Тепер знайдемо два можливих значення для x:

1. x = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1
2. x = (-2 - 4) / 2 = -6 / 2 = -3

Отже, рівняння має два розв'язки:

x₁ = 1 x₂ = -3