Question

Решите уровнение (х⁴-х²-12)/(х+2)=0

Answer 1

Ответ:

$x = 2$

Объяснение:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Значит, при условии, что х не равен -2, имеем:

${x}^{4} - {x}^{2} - 12 = 0$

Пусть

${x}^{2} = y$

Тогда:

${y}^{2} - y - 12 = 0$

По теореме Виета:

$y1 + y2 = 1$

и

$y1 \times y2 = - 12$

откуда

$y1 = 4 \\ y2 = - 3$

Вернёмся к замене:

у=-3 - не удовлетворяет условию,

значит корнями уравнения будут только корни:

${x}^{2} = 4 \\ x = 2 \\ x = - 2$

х не может быть равен -2 из доказанного, значит

$x = 2$

Answer 2

Ответ:

2

Объяснение:

$\dfrac{x^4-x^2-12}{x+2}=0\\\dfrac{x^4-2x^3+2x^3-4x^2+3x^2-6x+6x-12}{x+2}=0\\\dfrac{x^3(x-2)+2x^2(x-2)+3x(x-2)+6(x-2)}{x+2}=0\\\dfrac{(x-2)(x^3+2x^2+3x+6)}{x+2}=0\\\dfrac{(x-2)(x^2(x+2)+3(x+2))}{x+2}=0\\\dfrac{(x-2)(x+2)(x^2+3)}{x+2}=0$

Т.к. $x\ne-2$, то уравнению выше равносильно:

$(x-2)(x^2+3)=0$

Произведение равно 0, если хотя бы 1 из его множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла:

$\left[\begin{array}{c}x-2=0\\x^2+3=0\end{array}\right$

Второе уравнение совокупности не имеет корней.

Тогда:

$x-2=0\\x=2$

Уравнение решено!

Замечу, что можно было написать ОДЗ и решать с заменой вида t=x².

Answer 3

Чтобы решить уравнение $\frac{{x^4 - x^2 - 12}}{{x + 2}} = 0$, нужно найти значения $x$, при которых числитель равен нулю, так как деление на ноль невозможно.

Уравнение можно представить в виде:

$x^4 - x^2 - 12 = 0$

Проведем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = x^2$, тогда уравнение примет вид:

$y^2 - y - 12 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Факторизуем его или воспользуемся квадратным корнем:

$y^2 - y - 12 = (y - 4)(y + 3) = 0$

Таким образом, у нас есть два значения переменной $y$, при которых числитель равен нулю: $y = 4$ и $y = -3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, учитывая, что $y = x^2$:

1. Для $y = 4$: $x^2 = 4$ имеет два решения $x = 2$ и $x = -2$.
2. Для $y = -3$: уравнение $x^2 = -3$ не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, уравнение $\frac{{x^4 - x^2 - 12}}{{x + 2}} = 0$ имеет два решения: $x = 2$ и $x = -2$.