Question

Определить ряд сходится абсолютно, или условно, или разбегается

Answer 1

$1-\frac{1}{\sqrt[5]{2}}+...+\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[5]{n}}+...=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[5]{n}}$

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

$1>2^{-1/5}>3^{-1/5}>...$

По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

$\lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt[5]{n}}=0$

Второе условие Лейбница выполняется.  Таким образом, рассматриваемый ряд сходится. Исследуем на абсолютной и условной сходимости ряда. Для этого возьмём исходный ряд по модулю

$\Big|\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt[5]{n}}\Big|=\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{\sqrt[5]{n}}=\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^{1/5}}$

Этот ряд расходится, так как $\alpha =1/5$.

Следовательно, исследуемый ряд сходится условно.

Answer 2

Чтобы определить, сходится ли ряд абсолютно, условно или разбегается, вам нужно проанализировать его поведение. Для этого можно воспользоваться различными методами и критериями. Одним из таких методов является исследование знакопеременных рядов с использованием признака Лейбница и признака сравнения.

1. Рассмотрим знакопеременный ряд с элементами a_n:

   Σ (-1)^n * a_n

2. Признак Лейбница: Если выполнены следующие условия, то ряд сходится условно:

   • a_n > 0 (положительные элементы)
   • a_n убывает (a_n >= a_(n+1))

   Если выполнены следующие условия, то ряд сходится абсолютно:

   • a_n > 0 (положительные элементы)
   • a_n убывает (a_n >= a_(n+1))
   • Σ a_n сходится (ряд из модулей a_n сходится)

3. Признак сравнения: Если можно найти другой ряд b_n, для которого известно, что он сходится и 0 <= a_n <= b_n для всех n, то ряд Σ (-1)^n * a_n будет сходиться абсолютно.

4. Если не выполняются ни признак Лейбница, ни признак сравнения, то ряд Σ (-1)^n * a_n будет разбегаться.

Итак, чтобы определить, сходится ли ваш ряд абсолютно, условно или разбегается, вам потребуется выполнить вышеуказанные шаги и провести анализ элементов вашего ряда a_n.