Question

Про последовательность xn известно, что n*xn сходится. Верно ли, что последовательность xn*sqrt(n) также сходится?

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

так как ряд n*xn сходится и так как для любого n >1 каждый член ряда xn*sqrt(n) меньше чем соответствующий член ряда n*xn то

xn*sqrt(n) - сходится по признаку почленного сравнения с сходящимся рядом

Answer 2

Для того чтобы проверить, сходится ли последовательность $x_n \times \sqrt{n}$, давайте воспользуемся предоставленной информацией о сходимости $n \times x_n$.

Пусть дана последовательность $x_n$ такая, что $n \times x_n$ сходится. Тогда мы хотим проверить, сходится ли последовательность $x_n \times \sqrt{n}$.

Мы знаем, что $n \times x_n$ сходится. Это означает, что существует конечный предел для $n \times x_n$ при $n$ стремящемся к бесконечности. Пусть этот предел равен $L$, т.е.,

$$\lim_{{n \to \infty}} (n \times x_n) = L.$$

Теперь давайте рассмотрим последовательность $x_n \times \sqrt{n}$:

$$y_n = x_n \times \sqrt{n}.$$

Мы хотим проверить, сходится ли $y_n$ и, если сходится, найти её предел.

$$\lim_{{n \to \infty}} y_n = \lim_{{n \to \infty}} (x_n \times \sqrt{n}).$$

Мы можем переписать $y_n$ в терминах $n \times x_n$:

$$\lim_{{n \to \infty}} (x_n \times \sqrt{n}) = \lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{n \times x_n}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\right).$$

Теперь используем свойство предела произведения:

$$\lim_{{n \to \infty}} \left(\frac{n \times x_n}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\right) = \lim_{{n \to \infty}} (n \times x_n) \times \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{\sqrt{n}} = L \times 0 = 0.$$

Таким образом, последовательность $x_n \times \sqrt{n}$ сходится к 0.

Итак, если последовательность $n \times x_n$ сходится, то последовательность $x_n \times \sqrt{n}$ также сходится, и её предел равен 0.