Question

Дана дробь (отношение двух целых чисел), знаменатель которой меньше квадрата числителя на единицу. Если к числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби будет больше, чем 1/3, если же от числителя и знаменателя отнять по 3, то дробь останется положительной, но будет меньше 1/10. Найти эту дробь.

Answer 1

Ответ : 4/15

Решение:

метод подбора никто не отменял, поэтому рассуждаем, в числителе  не может быть число меньше  4, так как по последнему условию если от числителя отнять 3, то дробь будет положительной.

Предположим, что числитель 4, тогда знаменатель должен быть равен

4²-1( по условию: знаменатель меньше квадрата числителя на единицу) =15.

Полученную дробь проверяем на остальные условия:

1условие:  (4+2)/(15+2)>1/3;

6/15>1/3    ;

6/15>1*5/3*5

6/15>5/15 - верно

2 условие

0<(4-3)/(15-3)<1/10  

0<1/12<1/10- верно

 Ответ: 4/15

Answer 2

Давайте обозначим числитель как x, а знаменатель как y. Мы знаем следующее:

1. y < x^2 + 1
2. (x + 2) / (y + 2) > 1/3
3. (x - 3) / (y - 3) < 1/10

Давайте начнем с первого условия:

y < x^2 + 1

Теперь добавим 2 к обоим сторонам:

y + 2 < x^2 + 3

Заметьте, что у нас уже есть x + 2 и x - 3 в других уравнениях. Давайте попробуем связать все эти уравнения вместе:

1. y + 2 < x^2 + 3 (из первого условия)
2. (x + 2) / (y + 2) > 1/3 (из второго условия)
3. (x - 3) / (y - 3) < 1/10 (из третьего условия)

Мы хотим найти x и y, удовлетворяющие этой системе уравнений. Давайте посмотрим, как можем это сделать.

Сначала, разделим обе стороны второго уравнения на (x + 2):

(x + 2) / (y + 2) > 1/3

Теперь, умножим обе стороны третьего уравнения на (y - 3):

(x - 3) / (y - 3) < 1/10

Теперь у нас есть два неравенства:

1. y + 2 < x^2 + 3
2. (x + 2) / (y + 2) > 1/3
3. (x - 3) / (y - 3) < 1/10

Теперь попробуем найти значения x и y, которые удовлетворяют всем этим условиям.

Давайте начнем с первого неравенства:

y + 2 < x^2 + 3

Переносим 2 на другую сторону:

y < x^2 + 1

Теперь, используя первое и второе неравенства, мы можем сказать следующее:

1/3 < (x + 2) / (y + 2)

Перекроем x и y:

3(x + 2) < y + 2

Подставим это обратно в первое неравенство:

y + 2 < x^2 + 3

3(x + 2) < x^2 + 3

Умножим обе стороны на (y + 2):

3(x + 2)(y + 2) < (x^2 + 3)(y + 2)

Теперь подставим третье неравенство:

3(x + 2)(y + 2) < (x^2 + 3)(y + 2) < (x - 3)(y + 2)

Заметьте, что (y + 2) сокращается с обеих сторон, и мы получаем:

3(x + 2) < (x - 3)

Теперь раскроем скобки и упростим:

3x + 6 < x - 3

Переносим все x на одну сторону:

3x - x < -3 - 6

2x < -9

Теперь делим обе стороны на 2:

x < -9/2

Теперь у нас есть ограничение на x. Теперь мы можем найти y, используя первое неравенство:

y < x^2 + 1

y < (-9/2)^2 + 1

y < 81/4 + 1

y < 85/4

Таким образом, у нас есть ограничение на y: y < 85/4.

Теперь мы имеем два ограничения:

1. x < -9/2
2. y < 85/4

Мы можем найти дробь, удовлетворяющую этим ограничениям, например, x = -5 и y = 10.

Таким образом, данная дробь будет:

x/y = -5/10 = -1/2

Итак, искомая дробь -1/2.