Question

Решите уравнение: x^5=x^8 Все корни и мнимые

Answer 1

С учетом кратности корней их должно быть 8, так как многочлен восьмой степени. Разность кубов разложим по известной формуле

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$x^8-x^5=0 \Rightarrow x^5(x^3-1)=0 \Rightarrow x^5(x-1)(x^2+x+1)=0$

Корень $x=0$ имеет кратности 5, корень $x=1$ имеет кратность 1 и осталось вычислить 2 комплексных корня из последней скобки:

$\displaystyle x^2+x+1=0 \Rightarrow D=1^2-4\cdot 1 \cdot 1=-3 \Rightarrow x=\frac{-1\pm i \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\displaystyle \boxed{0; \ 1; \frac{-1\pm i \sqrt{3}}{2}}$

Answer 2

Давайте решим уравнение $x^5 = x^8$.

1. Переносим все члены уравнения в одну сторону: $x^8 - x^5 = 0$

2. Факторизуем: $x^5 (x^3 - 1) = 0$

3. По свойству равенства произведения нулей, у нас есть два случая:

   • $x^5 = 0$, что дает корень $x = 0$.
   • $x^3 - 1 = 0$, что дает корень $x = 1$.

Таким образом, уравнение $x^5 = x^8$ имеет два корня: $x = 0$ и $x = 1$.

Если у вас есть еще вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать.