Question

Cos4x-cosx=0 Решите плиз и найдите корни, принадлежащие [3π;7π/2]

Answer 1

Ответ: приложено

Объяснение:

Answer 2

Давайте решим уравнение cos(4x) - cos(x) = 0:

cos(4x) - cos(x) = 0

Для упрощения уравнения, мы можем воспользоваться формулой для разности косинусов:

cos(4x) - cos(x) = 2sin((4x + x)/2)sin((4x - x)/2)

Теперь у нас есть:

2sin(5x/2)sin(3x/2) = 0

Теперь мы можем найти корни уравнения. Во-первых, у нас есть:

sin(5x/2) = 0

Это происходит, когда аргумент синуса равен кратному числу π:

5x/2 = nπ, где n - целое число

Теперь найдем корни для sin(3x/2) = 0:

3x/2 = mπ, где m - целое число

Теперь мы можем решить оба уравнения:

Для sin(5x/2) = 0: 5x/2 = nπ x = 2nπ/5

Для sin(3x/2) = 0: 3x/2 = mπ x = 2mπ/3

Таким образом, у нас есть две последовательности корней: одна соответствует x = (2nπ/5), а другая x = (2mπ/3).

Теперь мы можем найти корни, которые принадлежат интервалу [3π; 7π/2]. Для этого мы должны найти значения n и m, которые соответствуют этому интервалу.

Для интервала [3π; 7π/2]: 3π ≤ x ≤ 7π/2

Давайте найдем значения n и m, которые удовлетворяют этому интервалу:

Для x = (2nπ/5): 3π ≤ 2nπ/5 ≤ 7π/2

Умножим обе стороны на 5/2, чтобы избавиться от деления на 5/2: (5/2) * 3π ≤ 2nπ ≤ (5/2) * (7π/2)

(15/2)π ≤ 2nπ ≤ (35/2)π

Теперь делим обе стороны на 2π: (15/2) ≤ 2n ≤ (35/2)

Для целых чисел n это означает: 8 ≤ 2n ≤ 17

Теперь давайте найдем значения m, которые удовлетворяют интервалу [3π; 7π/2] для x = (2mπ/3):

3π ≤ 2mπ/3 ≤ 7π/2

Умножим обе стороны на 3/2: (3/2) * 3π ≤ 2mπ ≤ (3/2) * (7π/2)

4.5π ≤ 2mπ ≤ 10.5π

Делим обе стороны на 2π: 2.25 ≤ 2m ≤ 5.25

Для целых чисел m это означает: 2 ≤ 2m ≤ 5

Теперь мы можем найти значения n и m, которые соответствуют интервалу [3π; 7π/2]: Для n: 8 ≤ 2n ≤ 17 Для m: 2 ≤ 2m ≤ 5

Теперь найдем все возможные целые значения n и m, которые соответствуют этим условиям:

Для n: n = 4, 5, 6, 7, 8

Для m: m = 1, 2

Теперь мы можем найти соответствующие значения x:

Для n: x = (2nπ/5) = (2π/5), (4π/5), (6π/5), (8π/5), (10π/5)

Для m: x = (2mπ/3) = (2π/3), (4π/3)

Теперь давайте проверим, какие из этих значений x принадлежат интервалу [3π; 7π/2]:

Для x = (2π/5): 3π ≤ (2π/5) ≤ 7π/2 (не удовлетворяет условию)

Для x = (4π/5): 3π ≤ (4π/5) ≤ 7π/2 (не удовлетворяет условию)

Для x = (6π/5): 3π ≤ (6π/5) ≤ 7π/2 (удовлетворяет условию)

Для x = (8π/5): 3π ≤ (8π/5) ≤ 7π/2 (удовлетворяет условию)

Для x = (10π/5): 3π ≤ (10π/5) ≤ 7π/2 (не удовлетворяет условию)

Для x = (2π/3): 3π ≤ (2π/3) ≤ 7π/2 (не удовлетворяет условию)

Для x = (4π/3): 3π ≤ (4π/3) ≤ 7π/2 (удовлетворяет условию)

Итак, корни уравнения cos(4x) - cos(x) = 0, которые принадлежат интервалу [3π; 7π/2], равны:

x = (6π/5) и x = (4π/3).