Question

Докажите, что если a^2 делится нацело на (a+b), то и b^2 делится нацело на(a+b) ^ степень

Answer 1

Тот факт, что a² делится на выражение (а + b) означает, что a² = к * (а + b), то есть a² кратно (а + b) с коэффициентом равным к.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ещё раз запишем выражение  a² = к * (а + b) , и преобразуем его. Получим: a² - к * а = к * b, откуда найдём b = ( a² - к * а)/к = а * (а - к)/к = (а/к )* (а - к).

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

То есть получили, что b кратно числу а, которое в свою очередь кратно (а + b), значит, и число b тоже кратно выражению (а + b),  или делится на (а + b), только с другим коэффициентом, равным (а - к)/K

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте воспользуемся определением деления с остатком.

По условию, мы знаем, что a^2 делится нацело на (a+b), что означает, что существует целое число k1 такое, что:

a^2 = k1 * (a + b)

Теперь давайте выразим a^2 в виде (a + b) * некоторое выражение:

a^2 = (a + b) * k1 - b^2 * k1

Теперь давайте добавим b^2 * k1 к обеим сторонам уравнения:

a^2 + b^2 * k1 = (a + b) * k1 + b^2 * k1

a^2 + b^2 * k1 = (a + b + b^2) * k1

Теперь мы видим, что левая сторона уравнения (a^2 + b^2 * k1) делится нацело на (a + b), так как она равна правой стороне, которая уже является произведением некоторого целого числа k1 и (a + b + b^2).

Таким образом, мы доказали, что если a^2 делится нацело на (a+b), то и b^2 делится нацело на (a+b), возведенное в степень 1. Но данное утверждение также верно для любой положительной степени, так как b^2 всегда будет делиться нацело на (a+b), если a^2 делится нацело на (a+b).