Question

Знайти екмьремуми функції y=x⁴- 2x²-3

Answer 1

Ответ:

$x_1=0\\x_2=1\\x_3=-1$

Объяснение:

Найдем производную функции и приравняем ее к 0 :

$y'=(x^4-2x^2-3)'=4x^3-4x\\\\4x^3-4x=0\\\\x^3-x=0\\\\x\cdot (x^2-1)=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}x_1=0\\x_2=1\\x_3=-1\end{array}\right$

Определим знаки производной на интервалах:

$y'\left\{\begin{array}{ccc}$

Знаки чередуются, значит перегибов у функции нет, и все критические точки являются экстремумами.

Answer 2

Для знаходження екстремумів функції $y = x^4 - 2x^2 - 3$, спершу знайдемо похідну функції та знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю. Ці точки можуть бути можливими місцями локальних максимумів або мінімумів.

Знайдемо похідну функції $y$:

$y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 - 3)$.

Використовуючи правило степеней та похідну суми, отримуємо:

$y' = 4x^3 - 4x$.

Тепер знайдемо точки, де $y'$ дорівнює нулю:

$4x^3 - 4x = 0$.

Розфакторизуємо:

$4x(x^2 - 1) = 0$.

Тепер знайдемо значення $x$, для яких $x^2 - 1 = 0$:

$x^2 - 1 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$.

Таким чином, ми маємо дві можливі точки, де можуть знаходитися екстремуми: $x = 1$ та $x = -1$.

Тепер знайдемо відповідні значення $y$ для цих точок, підставивши їх у вихідну функцію $y = x^4 - 2x^2 - 3$:

Для $x = 1$:

$y(1) = 1^4 - 2(1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

Для $x = -1$:

$y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

Таким чином, функція має локальний мінімум в точках $x = 1$ та $x = -1$ і цей мінімум дорівнює $y = -4$.

Отже, локальні мінімуми функції $y = x^4 - 2x^2 - 3$ знаходяться в точках $x = 1$ та $x = -1$, і вони дорівнюють $y = -4$.