Question

некоторое натуральное число в четвертой степени имеет 85 натуральных делителя (включая единицу и само число). сколько натуральных делителей имеет это число в седьмой степени?

Answer 1

Пусть число записано в виде произведения степеней простых множителей:

$m=a^xb^y...c^z$, где $a,\ b,\ ...,\ c\in\mathbb{P};\ x,\ y,\ ...,\ z\in\mathbb{N}$

Тогда, число делителей этого числа определяется по формуле:

$n_d(m)=(x+1)(y+1)...(z+1)$

Рассмотрим некоторое число $k$. Пусть $k^4$ имеет 85 делителей. Разложим число 85 на множители:

$85=5\cdot17$

Заметим, что число 85 раскладывается на какие бы то ни было множители единственным образом.

Зная это, необходимо рассмотреть две ситуации.

1) Число делителей находилось как произведение из одного множителя (условное произведение):

$n_d(k^4)=x+1=85$

$\Rightarrow x=84$

Тогда, число $k^4$ имеет вид:

$k^4=a^{84}$

Найдем число $k$:

$k=\sqrt[4]{a^{84}}$

$k=a^{21}$

Найдем число $k^7$:

$k^7=(a^{21})^7$

$k^7=a^{147}$

Число делителей этого числа:

$n_d(k^7)=147+1=148$

2) Число делителей находилось как произведение из двух множителей:

$n_d(k^4)=(x+1)(y+1)=5\cdot17$

$\Rightarrow x=4;\ y=16$

Тогда, число $k^4$ имеет вид:

$k^4=a^4b^{16}$

Найдем число $k$:

$k=\sqrt[4]{a^4b^{16}}$

$k=ab^4$

Найдем число $k^7$:

$k^7=(ab^4)^7$

$k^7=a^7b^{28}$

Число делителей этого числа:

$n_d(k^7)=(7+1)\cdot(28+1)=8\cdot29=232$

Ответ: 148 или 232

Answer 2

Для того чтобы найти число делителей натурального числа в степени, можно воспользоваться следующей формулой:

Если n = p₁^a₁ * p₂^a₂ * ... * pk^ak, где p₁, p₂, ..., pk - простые числа и a₁, a₂, ..., ak - их показатели степени, то число делителей этого числа равно (a₁ + 1) * (a₂ + 1) * ... * (ak + 1).

В данном случае, мы знаем, что некоторое натуральное число в четвертой степени имеет 85 натуральных делителей. То есть:

4 = (a₁ + 1) * (a₂ + 1)

Из этого уравнения мы можем найти значения a₁ и a₂. Заметьте, что a₁ и a₂ должны быть натуральными числами, так как они представляют показатели степени простых чисел.

85 имеет несколько разложений на множители, но одним из возможных является:

85 = 5 * 17

Теперь мы можем попробовать различные варианты a₁ и a₂:

1. Если a₁ = 4 и a₂ = 16, то (a₁ + 1) * (a₂ + 1) = 5 * 17 = 85. Это соответствует числу, которое имеет 85 делителей в четвертой степени.

Теперь мы знаем, что это число равно p₁^4 * p₂^16, где p₁ и p₂ - простые числа. Чтобы найти количество делителей этого числа в седьмой степени, мы можем использовать ту же формулу:

(4 + 1) * (16 + 1) = 5 * 17 = 85 делителей в четвертой степени.

Теперь для седьмой степени:

7 = (b₁ + 1) * (b₂ + 1)

Если мы возьмем b₁ = 6 и b₂ = 16, то (b₁ + 1) * (b₂ + 1) = 7 * 17 = 119. Таким образом, это число в седьмой степени будет иметь 119 натуральных делителей.

Итак, число в седьмой степени, которое имеет 85 делителей в четвертой степени, будет иметь 119 натуральных делителей в седьмой степени.