Question

Функцию исследуйте на экстремумы у = х³ + х² - 8х + 1. Ход решения оформить комментариями к действиям. СРООООЧНО!!! ПОЖАЛУЙСТА !!!!

Answer 1

Ответ:

y=1

Объяснение:

на фото все детально

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы (минимумы и максимумы), мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y = x³ + x² - 8x + 1.
2. Решим уравнение производной для нахождения критических точек (точек, в которых производная равна нулю или не существует).
3. Определим характер экстремума в каждой критической точке, используя вторую производную.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x: y'(x) = 3x² + 2x - 8

Шаг 2: Решим уравнение y'(x) = 0 для поиска критических точек: 3x² + 2x - 8 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение: D = (2)² - 4(3)(-8) = 4 + 96 = 100

x₁ = (-2 + √100) / (2 * 3) = ( -2 + 10) / 6 = 8 / 6 = 4/3 x₂ = (-2 - √100) / (2 * 3) = ( -2 - 10) / 6 = -12 / 6 = -2

Итак, у нас есть две критические точки: x₁ = 4/3 и x₂ = -2.

Шаг 3: Определим характер экстремума в каждой критической точке, используя вторую производную. Вторая производная: y''(x) = 6x + 2

Теперь подставим значения x₁ = 4/3 и x₂ = -2 во вторую производную:

y''(4/3) = 6(4/3) + 2 = 8 y''(-2) = 6(-2) + 2 = -12 + 2 = -10

Теперь мы можем сделать выводы:

• В точке x₁ = 4/3 вторая производная положительна (8), что означает, что это точка локального минимума.
• В точке x₂ = -2 вторая производная отрицательна (-10), что означает, что это точка локального максимума.

Итак, у функции y = x³ + x² - 8x + 1 есть локальный минимум в точке (4/3, ...) и локальный максимум в точке (-2, ...). Для определения значений функции в этих точках и исследования их характера более подробно, необходимо подставить x₁ и x₂ обратно в исходную функцию.