Question

Функцию исследуйте на экстремумы у = х³ + х² - 8х + 1. Ход решения оформить комментариями к действиям. СРООООЧНО!!!! ПОЖАЛУЙСТА!!!

Answer 1

Ответ:

F'(x) =(x три маленькой напиши - 3x два маленькой напиши +4x-5)'=3x два маленькой напиши - 6x+4 f' (2)=4*2 два маленькой напиши +8*2-1=15

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы у = x³ + x² - 8x + 1, мы будем выполнять следующие шаги:

1. Найдем первую производную функции y по x (y' или f'(x)) и выразим ее:

   y' = 3x² + 2x - 8

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю, так как экстремумы функции находятся в таких точках:

   3x² + 2x - 8 = 0

   Это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью квадратного уравнения или через дискриминант:

   Дискриминант (D) = (2)² - 4(3)(-8) = 4 + 96 = 100

   Теперь найдем два значения x, где D > 0:

   x₁ = (-2 + √100) / (2*3) = ( -2 + 10 ) / 6 = 8 / 6 = 4/3

   x₂ = (-2 - √100) / (2*3) = ( -2 - 10 ) / 6 = -12 / 6 = -2

3. Теперь найдем соответствующие значения y в точках x₁ и x₂:

   y(4/3) = (4/3)³ + (4/3)² - 8(4/3) + 1 ≈ 5.37

   y(-2) = (-2)³ + (-2)² - 8(-2) + 1 = -8 + 4 + 16 + 1 = 13

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: (4/3, 5.37) и (-2, 13).

4. Теперь найдем вторую производную функции (y'') и проверим ее знак в этих точках, чтобы определить тип экстремума:

   y'' = 6x + 2

   y''(4/3) = 6(4/3) + 2 = 8

   y''(-2) = 6(-2) + 2 = -10

В точке (4/3, 5.37) вторая производная положительна, поэтому это точка минимума.

В точке (-2, 13) вторая производная отрицательна, поэтому это точка максимума.

Таким образом, функция у = x³ + x² - 8x + 1 имеет локальный минимум в точке (4/3, 5.37) и локальный максимум в точке (-2, 13).