Question

Докажите утверждения для любого натурального n: 1) n^3+5n кратно 6​

Answer 1

n³ + 5n = n³ - n + 6n = (n³ -n) + 6n = n(n² - 1) + 6n = n(n-1)(n+1) +6n

первое слагаемое (n-1)n(n+1) произведение трёх последовательных натуральных чисел, которое всегда делится на 6

второе слагаемое 6n при любых натуральных значениях n делится на 6

Если каждое слагаемое суммы делится на 6, то и вся сумма делится на 6

чтд

Answer 2

Для доказательства утверждения, что $n^3 + 5n$ делится на 6 для любого натурального $n$, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Математическая индукция состоит из двух шагов: базового шага и шага индукции.

Базовый шаг: Для $n = 1$, давайте проверим, что $n^3 + 5n$ делится на 6:

$1^3 + 5 \cdot 1 = 1 + 5 = 6$.

6 делится на 6 без остатка, поэтому базовый шаг выполняется.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого положительного целого числа $k$, $k^3 + 5k$ делится на 6. Теперь докажем, что это также верно для $k + 1$. Это и будет шагом индукции.

Рассмотрим выражение $k^3 + 5k$. По предположению индукции, оно делится на 6, что означает, что существует целое число $m$, такое что:

$k^3 + 5k = 6m$.

Теперь мы хотим доказать, что $(k + 1)^3 + 5(k + 1)$ также делится на 6. Раскроем выражение $(k + 1)^3 + 5(k + 1)$:

$(k + 1)^3 + 5(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 5k + 5$.

Теперь объединим подобные члены:

$k^3 + 5k + 3k^2 + 3k + 1 + 5 = k^3 + 5k + (3k^2 + 3k) + 6$.

Теперь мы можем выделить $k^3 + 5k$ и $3k^2 + 3k$ как общие множители:

$k^3 + 5k + (3k^2 + 3k) + 6 = (k^3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6$.

По предположению индукции, $k^3 + 5k$ делится на 6, то есть $k^3 + 5k = 6m$. Подставим это:

$(k^3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6 = 6m + 3k(k + 1) + 6$.

Теперь вынесем общий множитель 6:

$6m + 3k(k + 1) + 6 = 6(m + k(k + 1) + 1)$.

Таким образом, $(k + 1)^3 + 5(k + 1)$ делится на 6.

Мы доказали, что если утверждение верно для $k$, то оно также верно для $k + 1$, и базовый шаг выполнился. Следовательно, утверждение верно для всех натуральных чисел $n$ по принципу математической индукции.