Question

Найдите все значения параметра `k`, при каждом из которых ровно один корень уравнения `x^2+2(k-1)x+3k+1=0` удовлетворяет неравенству `x<-1`. С решением.

Answer 1

Ответ:

при k=5 уравнение имеет один корень меньший - 1

Объяснение:

решение во вложении

Answer 2

Чтобы найти значения параметра k, при которых ровно один корень уравнения x^2 + 2(k-1)x + 3k + 1 = 0 удовлетворяет неравенству x < -1, мы можем использовать дискриминант и условие на количество корней квадратного уравнения.

Уравнение квадратного корня имеет вид: ax^2 + bx + c = 0, где a, b и c - коэффициенты уравнения.

1. Найдем дискриминант (D) уравнения: D = b^2 - 4ac.
2. Затем используем условие на количество корней:
   • Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня.
   • Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
   • Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

В данном случае у нас есть уравнение x^2 + 2(k-1)x + 3k + 1 = 0. Сравним его с общей формой ax^2 + bx + c = 0:

a = 1 b = 2(k-1) c = 3k + 1

Теперь найдем дискриминант:

D = (2(k-1))^2 - 4 * 1 * (3k + 1) D = 4(k^2 - 2k + 1) - 4(3k + 1) D = 4k^2 - 8k + 4 - 12k - 4 D = 4k^2 - 20k

Теперь у нас есть дискриминант D. Найдем значения k, при которых уравнение имеет ровно один корень (D = 0), который удовлетворяет неравенству x < -1:

4k^2 - 20k = 0

Решим это квадратное уравнение:

4k(k - 5) = 0

Из этого уравнения видно, что корни равны k = 0 и k = 5.

Теперь проверим условие x < -1 для каждого из этих значений k:

1. При k = 0: Уравнение становится x^2 - 2x + 1 = 0, и единственный корень x = 1 не удовлетворяет x < -1.

2. При k = 5: Уравнение становится x^2 + 8x + 16 = 0, и единственный корень x = -4 удовлетворяет x < -1.

Итак, у нас есть только одно значение параметра k, при котором ровно один корень удовлетворяет неравенству x < -1, и это k = 5.