Question

Розв'язати нерівність методом інтервалів: (x-3)(x+5)(4-x)≥0

Answer 1

Розв’язання методом інтервалі

Answer 2

Для розв'язання даної нерівності методом інтервалів, спершу знайдемо критичні точки, де вираз в лівій частині нерівності дорівнює нулю:

1. Почнемо з (x - 3) = 0. Розв'язуючи це рівняння, отримаємо x = 3.

2. Потім розв'яжемо (x + 5) = 0. Розв'язуючи це рівняння, отримаємо x = -5.

3. Нарешті, розв'яжемо (4 - x) = 0. Це рівняння дає x = 4.

Тепер ми маємо три критичні точки: x = -5, x = 3 і x = 4. Ми можемо використовувати ці точки для розбиття числової прямої на чотири інтервали:

1. x < -5
2. -5 < x < 3
3. 3 < x < 4
4. x > 4

Тепер перевіримо знак виразу (x - 3)(x + 5)(4 - x) на кожному інтервалі:

1. Для x < -5:

   • (-5 - 3)(-5 + 5)(4 - (-5)) = (-8)(0)(9) = 0. Нерівність набуває значення 0 на цьому інтервалі.

2. Для -5 < x < 3:

   • (x - 3)(x + 5)(4 - x) < 0, оскільки на цьому інтервалі перший множник (x - 3) від'ємний, а два інші множники позитивні.

3. Для 3 < x < 4:

   • (x - 3)(x + 5)(4 - x) > 0, оскільки всі три множники на цьому інтервалі від'ємні.

4. Для x > 4:

   • (x - 3)(x + 5)(4 - x) < 0, оскільки на цьому інтервалі два з трьох множників від'ємні.

Отже, розв'язок нерівності (x - 3)(x + 5)(4 - x) ≥ 0 - це об'єднання інтервалів, на яких вона має значення 0 або позитивні значення:

1. x ≤ -5
2. 3 ≤ x ≤ 4