Question

Решить линейное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами y"-y' -2y = 0, x=0, y=3, y'=0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, данного вам уравнения, можно использовать характеристический метод. Сначала найдем характеристический многочлен.

Уравнение имеет вид: y" - y' - 2y = 0

Характеристический многочлен будет иметь вид: λ^2 - λ - 2 = 0

Теперь найдем корни этого многочлена, решив квадратное уравнение: λ^2 - λ - 2 = 0

Мы можем факторизовать его: (λ - 2)(λ + 1) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: λ1 = 2 λ2 = -1

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения: y(x) = C1 * e^(λ1x) + C2 * e^(λ2x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые мы должны найти из начальных условий.

Из начальных условий: x = 0, y = 3, y' = 0

Подставим их в общее решение: y(0) = C1 * e^(0) + C2 * e^(0) = C1 + C2 = 3 y'(0) = C1 * λ1 * e^(0) + C2 * λ2 * e^(0) = C1 * 2 - C2 = 0

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:

1. C1 + C2 = 3
2. 2C1 - C2 = 0

Решим эту систему методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.

Из уравнения (2) выразим C2: C2 = 2C1

Подставим это значение в уравнение (1): C1 + 2C1 = 3 3C1 = 3

Теперь найдем C1: C1 = 1

Используя это значение, найдем C2: C2 = 2 * C1 = 2 * 1 = 2

Таким образом, мы нашли значения постоянных C1 и C2. Теперь мы можем записать окончательное решение дифференциального уравнения: y(x) = 1 * e^(2x) + 2 * e^(-x)

Итак, решение данного линейного дифференциального уравнения с учетом начальных условий имеет вид: y(x) = e^(2x) + 2e^(-x)