Question

ПОШАГОВО.Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение,которое удовлетворяет приведенным начальным условиям. |-штрих

Answer 1

Ответ:

$y'' + y' = 3 \cos(x) - \sin(x)$

1. Решаем ОЛДУ:

$y''+ y'= 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} (k {}^{2} + k ) = 0\\ k_1 = 0\\ k_2 = - 1 \\ \\ y = C_1 +C_2 {e}^{ - x}$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = A\sin(x) + B \cos(x) \\ y '= A\cos(x) - B\sin(x) \\ y ''= - A \sin(x) - B \cos(x)$

Подставляем в НЛДУ:

$- A \sin(x) - B \cos(x) + A \cos(x) - B \sin(x) = 3 \cos(x) - \sin(x) \\ ( - A- B) \sin(x) + (A- B) \cos(x) = 3 \cos(x) - \sin(x) \\ \\ - A - B= - 1 \\ A- B= 3 \\ \\ A= 3 + B \\ - 3 - B - B= - 1 \\ \\ - 2B = 2 \\ B = - 1 \\ A= 3 - 1 = 2$

$y = 2 \sin(x) - \cos(x)$

Получаем общее решение:

$y = C_1 + C_2 {e}^{ - x} + 2 \sin(x) - \cos(x)$

$y(0) = 0,y'(0) = 1$

$y' = - C_2 {e}^{ - x} + 2 \cos(x) + \sin(x)$

$C_1 + C_2 - 1 = 0 \\ - C_2 + 2 = 1 \\ \\ C_2 = 1 \\ C_1 = 1 - C_2 = 0$

Частное решение:

$y = {e}^{ - x} + 2 \sin(x) - \cos(x)$

Answer 2

Для того чтобы найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и начальными условиями, нужно следовать следующим шагам:

Дано дифференциальное уравнение: $a\frac{d^2y}{dt^2} + b\frac{dy}{dt} + cy = F(t),$ где $a$, $b$, и $c$ - постоянные коэффициенты, $F(t)$ - функция правой части уравнения.

Также даны начальные условия, которые обычно представляются в виде значения функции $y$ и её производной в некоторый момент времени $t_0$: $y(t_0) = y_0, \quad \left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=t_0} = y_0'.$

Давайте найдем частное решение.

Шаг 1: Начнем с нахождения общего решения однородного уравнения, то есть уравнения без $F(t)$: $a\frac{d^2y}{dt^2} + b\frac{dy}{dt} + cy = 0.$

Чтобы найти решение этого уравнения, сначала найдем его характеристическое уравнение: $ar^2 + br + c = 0.$

Решим это квадратное уравнение и найдем корни $r_1$ и $r_2$. В зависимости от характера корней (реальные, комплексные, одинаковые или разные), общее решение будет иметь разный вид.

Шаг 2: После того, как найдено общее решение однородного уравнения, нужно найти частное решение неоднородного уравнения. Это можно сделать с помощью метода вариации постоянных (методом неопределенных коэффициентов).

Обозначим частное решение как $y_p(t)$. Тогда, мы предполагаем, что $y_p(t)$ имеет тот же вид, что и функция $F(t)$, но с некоторыми неизвестными коэффициентами, которые мы должны найти.

$y_p(t) = A F(t) + B$ где $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты.

Шаг 3: Теперь возьмем производные $y_p(t)$ и подставим их в исходное уравнение. Затем решим полученное уравнение относительно неизвестных коэффициентов $A$ и $B$.

После подстановки и упрощения, мы получим линейное уравнение относительно $A$ и $B$.

Шаг 4: Решим полученное систему линейных уравнений относительно $A$ и $B$.

Шаг 5: Подставим найденные значения $A$ и $B$ обратно в выражение для $y_p(t)$, и тем самым получим частное решение неоднородного уравнения.

Таким образом, чтобы найти частное решение неоднородного уравнения с начальными условиями, вам потребуется выполнить эти шаги, учитывая конкретное уравнение $F(t)$ и начальные условия $y(t_0)$ и $\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=t_0}$.